Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102756 / 99450
↖ ↑ ↗
← S 67.736516°
E102.227783°		 ← 115.72 m → S 67.736516°
E102.230530°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.737557°
E102.227783°		 ← 115.71 m →
13 395 m²		 S 67.737557°
E102.230530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783969879150391 y=0.758747100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783969879150391 × 217)
    floor (0.783969879150391 × 131072)
    floor (102756.5)     		tx = 102756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758747100830078 × 217)
    floor (0.758747100830078 × 131072)
    floor (99450.5)     		ty = 99450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102756 / 99450 ti = "17/102756/99450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102756/99450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102756 ÷ 217
    102756 ÷ 131072     		x = 0.783966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99450 ÷ 217
    99450 ÷ 131072     		y = 0.758743286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783966064453125 × 2 - 1) × π
    0.56793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78421140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758743286132812 × 2 - 1) × π
    -0.517486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62573201371458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78421140} λ = 1.78421140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62573201371458))-π/2
    2×atan(0.19676758590149)-π/2
    2×0.194285546150432-π/2
    0.388571092300864-1.57079632675     		φ = -1.18222523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78421140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.227783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18222523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.736516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102756 KachelY 99450 1.78421140 -1.18222523 102.227783 -67.736516
    Oben rechts KachelX + 1 102757 KachelY 99450 1.78425934 -1.18222523 102.230530 -67.736516
    Unten links KachelX 102756 KachelY + 1 99451 1.78421140 -1.18224340 102.227783 -67.737557
    Unten rechts KachelX + 1 102757 KachelY + 1 99451 1.78425934 -1.18224340 102.230530 -67.737557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18222523--1.18224340) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18222523--1.18224340) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78421140-1.78425934) × cos(-1.18222523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378866421925323 × 6371000     		do = 115.715557277618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78421140-1.78425934) × cos(-1.18224340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378849606411428 × 6371000     		du = 115.710421386843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18222523)-sin(-1.18224340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378866421925323-0.378849606411428)×R²
    abs(1.78425934-1.78421140)×1.68155138948189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68155138948189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68155138948189e-05×40589641000000     		ar = 13395.0594583111m²