Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10275 / 6180
↖ ↑ ↗
← N 81.062544°
W123.557739°		 ← 94.90 m → N 81.062544°
W123.552246°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
N 81.061691°
W123.557739°		 ← 94.91 m →
9 003 m²		 N 81.061691°
W123.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156791687011719 y=0.0943069458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156791687011719 × 216)
    floor (0.156791687011719 × 65536)
    floor (10275.5)     		tx = 10275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943069458007812 × 216)
    floor (0.0943069458007812 × 65536)
    floor (6180.5)     		ty = 6180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10275 / 6180 ti = "16/10275/6180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10275/6180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10275 ÷ 216
    10275 ÷ 65536     		x = 0.156784057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6180 ÷ 216
    6180 ÷ 65536     		y = 0.09429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.686431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15648937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09429931640625 × 2 - 1) × π
    0.8114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54909257419611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15648937} λ = -2.15648937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54909257419611))-π/2
    2×atan(12.7954875574458)-π/2
    2×1.49280230868618-π/2
    2.98560461737237-1.57079632675     		φ = 1.41480829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15648937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.557739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41480829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.062544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10275 KachelY 6180 -2.15648937 1.41480829 -123.557739 81.062544
    Oben rechts KachelX + 1 10276 KachelY 6180 -2.15639349 1.41480829 -123.552246 81.062544
    Unten links KachelX 10275 KachelY + 1 6181 -2.15648937 1.41479340 -123.557739 81.061691
    Unten rechts KachelX + 1 10276 KachelY + 1 6181 -2.15639349 1.41479340 -123.552246 81.061691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41480829-1.41479340) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dl = 94.8641900006413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41480829-1.41479340) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dr = 94.8641900006413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15648937--2.15639349) × cos(1.41480829) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155356215524291 × 6371000     		do = 94.8995741801501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15648937--2.15639349) × cos(1.41479340) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		du = 94.9085593143394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41480829)-sin(1.41479340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155356215524291-0.155370924720362)×R²
    abs(-2.15639349--2.15648937)×1.47091960705503e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47091960705503e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47091960705503e-05×40589641000000     		ar = 9002.99742026071m²