Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102744 / 100069
↖ ↑ ↗
← S 68.371863°
E102.194824°		 ← 112.57 m → S 68.371863°
E102.197571°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.372876°
E102.194824°		 ← 112.57 m →
12 673 m²		 S 68.372876°
E102.197571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783878326416016 y=0.763469696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783878326416016 × 217)
    floor (0.783878326416016 × 131072)
    floor (102744.5)     		tx = 102744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763469696044922 × 217)
    floor (0.763469696044922 × 131072)
    floor (100069.5)     		ty = 100069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102744 / 100069 ti = "17/102744/100069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102744/100069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102744 ÷ 217
    102744 ÷ 131072     		x = 0.78387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100069 ÷ 217
    100069 ÷ 131072     		y = 0.763465881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78387451171875 × 2 - 1) × π
    0.5677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78363616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763465881347656 × 2 - 1) × π
    -0.526931762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6554049545794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78363616} λ = 1.78363616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6554049545794))-π/2
    2×atan(0.191014687768727)-π/2
    2×0.188741097824481-π/2
    0.377482195648963-1.57079632675     		φ = -1.19331413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78363616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.194824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19331413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.371863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102744 KachelY 100069 1.78363616 -1.19331413 102.194824 -68.371863
    Oben rechts KachelX + 1 102745 KachelY 100069 1.78368410 -1.19331413 102.197571 -68.371863
    Unten links KachelX 102744 KachelY + 1 100070 1.78363616 -1.19333180 102.194824 -68.372876
    Unten rechts KachelX + 1 102745 KachelY + 1 100070 1.78368410 -1.19333180 102.197571 -68.372876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19331413--1.19333180) × R
    1.76699999998586e-05 × 6371000     		dl = 112.575569999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19331413--1.19333180) × R
    1.76699999998586e-05 × 6371000     		dr = 112.575569999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78363616-1.78368410) × cos(-1.19331413) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.368581101393932 × 6371000     		do = 112.574155643704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78363616-1.78368410) × cos(-1.19333180) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.368564675382215 × 6371000     		du = 112.56913871692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19331413)-sin(-1.19333180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368581101393932-0.368564675382215)×R²
    abs(1.78368410-1.78363616)×1.64260117173076e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.64260117173076e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.64260117173076e-05×40589641000000     		ar = 12672.8173474062m²