Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102740 / 99482
↖ ↑ ↗
← S 67.769792°
E102.183838°		 ← 115.55 m → S 67.769792°
E102.186584°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.770831°
E102.183838°		 ← 115.55 m →
13 347 m²		 S 67.770831°
E102.186584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783847808837891 y=0.758991241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783847808837891 × 217)
    floor (0.783847808837891 × 131072)
    floor (102740.5)     		tx = 102740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758991241455078 × 217)
    floor (0.758991241455078 × 131072)
    floor (99482.5)     		ty = 99482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102740 / 99482 ti = "17/102740/99482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102740/99482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102740 ÷ 217
    102740 ÷ 131072     		x = 0.783843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99482 ÷ 217
    99482 ÷ 131072     		y = 0.758987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783843994140625 × 2 - 1) × π
    0.56768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78344441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758987426757812 × 2 - 1) × π
    -0.517974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62726599450243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78344441} λ = 1.78344441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62726599450243))-π/2
    2×atan(0.19646597959333)-π/2
    2×0.193995165428346-π/2
    0.387990330856692-1.57079632675     		φ = -1.18280600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78344441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.183838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18280600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.769792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102740 KachelY 99482 1.78344441 -1.18280600 102.183838 -67.769792
    Oben rechts KachelX + 1 102741 KachelY 99482 1.78349235 -1.18280600 102.186584 -67.769792
    Unten links KachelX 102740 KachelY + 1 99483 1.78344441 -1.18282413 102.183838 -67.770831
    Unten rechts KachelX + 1 102741 KachelY + 1 99483 1.78349235 -1.18282413 102.186584 -67.770831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18280600--1.18282413) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18280600--1.18282413) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78344441-1.78349235) × cos(-1.18280600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378328883669961 × 6371000     		do = 115.551379258196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78344441-1.78349235) × cos(-1.18282413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378312101188093 × 6371000     		du = 115.546253456252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18280600)-sin(-1.18282413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378328883669961-0.378312101188093)×R²
    abs(1.78349235-1.78344441)×1.67824818678719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67824818678719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67824818678719e-05×40589641000000     		ar = 13346.6081588715m²