Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10274 / 6175
↖ ↑ ↗
← N 81.066810°
W123.563232°		 ← 94.84 m → N 81.066810°
W123.557739°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
N 81.065957°
W123.563232°		 ← 94.85 m →
8 998 m²		 N 81.065957°
W123.557739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156776428222656 y=0.0942306518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156776428222656 × 216)
    floor (0.156776428222656 × 65536)
    floor (10274.5)     		tx = 10274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942306518554688 × 216)
    floor (0.0942306518554688 × 65536)
    floor (6175.5)     		ty = 6175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10274 / 6175 ti = "16/10274/6175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10274/6175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10274 ÷ 216
    10274 ÷ 65536     		x = 0.156768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6175 ÷ 216
    6175 ÷ 65536     		y = 0.0942230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.68646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15658524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942230224609375 × 2 - 1) × π
    0.811553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54957194319231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15658524} λ = -2.15658524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54957194319231))-π/2
    2×atan(12.8016227878743)-π/2
    2×1.49283953634731-π/2
    2.98567907269461-1.57079632675     		φ = 1.41488275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15658524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41488275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.066810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10274 KachelY 6175 -2.15658524 1.41488275 -123.563232 81.066810
    Oben rechts KachelX + 1 10275 KachelY 6175 -2.15648937 1.41488275 -123.557739 81.066810
    Unten links KachelX 10274 KachelY + 1 6176 -2.15658524 1.41486786 -123.563232 81.065957
    Unten rechts KachelX + 1 10275 KachelY + 1 6176 -2.15648937 1.41486786 -123.557739 81.065957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41488275-1.41486786) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dl = 94.8641900006413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41488275-1.41486786) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dr = 94.8641900006413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15658524--2.15648937) × cos(1.41488275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155282659148638 × 6371000     		do = 94.8447491010647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15658524--2.15648937) × cos(1.41486786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155297368516921 × 6371000     		du = 94.8537334033163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41488275)-sin(1.41486786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155282659148638-0.155297368516921)×R²
    abs(-2.15648937--2.15658524)×1.47093682828503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47093682828503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47093682828503e-05×40589641000000     		ar = 8997.79644380822m²