Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102732 / 99900
↖ ↑ ↗
← S 68.200132°
E102.161865°		 ← 113.42 m → S 68.200132°
E102.164612°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.201153°
E102.161865°		 ← 113.42 m →
12 870 m²		 S 68.201153°
E102.164612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783786773681641 y=0.762180328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783786773681641 × 217)
    floor (0.783786773681641 × 131072)
    floor (102732.5)     		tx = 102732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762180328369141 × 217)
    floor (0.762180328369141 × 131072)
    floor (99900.5)     		ty = 99900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102732 / 99900 ti = "17/102732/99900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102732/99900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102732 ÷ 217
    102732 ÷ 131072     		x = 0.783782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99900 ÷ 217
    99900 ÷ 131072     		y = 0.762176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783782958984375 × 2 - 1) × π
    0.56756591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78306092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.52435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64730361854361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78306092} λ = 1.78306092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64730361854361))-π/2
    2×atan(0.192568447207807)-π/2
    2×0.190239731264368-π/2
    0.380479462528735-1.57079632675     		φ = -1.19031686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78306092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19031686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.200132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102732 KachelY 99900 1.78306092 -1.19031686 102.161865 -68.200132
    Oben rechts KachelX + 1 102733 KachelY 99900 1.78310886 -1.19031686 102.164612 -68.200132
    Unten links KachelX 102732 KachelY + 1 99901 1.78306092 -1.19033467 102.161865 -68.201153
    Unten rechts KachelX + 1 102733 KachelY + 1 99901 1.78310886 -1.19033467 102.164612 -68.201153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19031686--1.19033467) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19031686--1.19033467) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78306092-1.78310886) × cos(-1.19031686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371365690617119 × 6371000     		do = 113.42464086727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78306092-1.78310886) × cos(-1.19033467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371349154210366 × 6371000     		du = 113.419590223001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19031686)-sin(-1.19033467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371365690617119-0.371349154210366)×R²
    abs(1.78310886-1.78306092)×1.65364067529761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65364067529761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65364067529761e-05×40589641000000     		ar = 12869.7250301328m²