Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102725 / 99901
↖ ↑ ↗
← S 68.201153°
E102.142639°		 ← 113.42 m → S 68.201153°
E102.145386°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.202173°
E102.142639°		 ← 113.41 m →
12 862 m²		 S 68.202173°
E102.145386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783733367919922 y=0.762187957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783733367919922 × 217)
    floor (0.783733367919922 × 131072)
    floor (102725.5)     		tx = 102725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762187957763672 × 217)
    floor (0.762187957763672 × 131072)
    floor (99901.5)     		ty = 99901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102725 / 99901 ti = "17/102725/99901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102725/99901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102725 ÷ 217
    102725 ÷ 131072     		x = 0.783729553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99901 ÷ 217
    99901 ÷ 131072     		y = 0.762184143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783729553222656 × 2 - 1) × π
    0.567459106445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.78272536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762184143066406 × 2 - 1) × π
    -0.524368286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64735155544323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78272536} λ = 1.78272536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64735155544323))-π/2
    2×atan(0.192559216294736)-π/2
    2×0.190230830402631-π/2
    0.380461660805262-1.57079632675     		φ = -1.19033467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78272536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.142639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19033467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.201153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102725 KachelY 99901 1.78272536 -1.19033467 102.142639 -68.201153
    Oben rechts KachelX + 1 102726 KachelY 99901 1.78277330 -1.19033467 102.145386 -68.201153
    Unten links KachelX 102725 KachelY + 1 99902 1.78272536 -1.19035247 102.142639 -68.202173
    Unten rechts KachelX + 1 102726 KachelY + 1 99902 1.78277330 -1.19035247 102.145386 -68.202173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19033467--1.19035247) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dl = 113.403800001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19033467--1.19035247) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dr = 113.403800001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78272536-1.78277330) × cos(-1.19033467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371349154210366 × 6371000     		do = 113.419590223001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78272536-1.78277330) × cos(-1.19035247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371332626970821 × 6371000     		du = 113.414542378633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19033467)-sin(-1.19035247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371349154210366-0.371332626970821)×R²
    abs(1.78277330-1.78272536)×1.65272395447058e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65272395447058e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65272395447058e-05×40589641000000     		ar = 12861.9263037777m²