Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102712 / 99082
↖ ↑ ↗
← S 67.350440°
E102.106934°		 ← 117.62 m → S 67.350440°
E102.109680°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.351498°
E102.106934°		 ← 117.61 m →
13 833 m²		 S 67.351498°
E102.109680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783634185791016 y=0.755939483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783634185791016 × 217)
    floor (0.783634185791016 × 131072)
    floor (102712.5)     		tx = 102712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755939483642578 × 217)
    floor (0.755939483642578 × 131072)
    floor (99082.5)     		ty = 99082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102712 / 99082 ti = "17/102712/99082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102712/99082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102712 ÷ 217
    102712 ÷ 131072     		x = 0.78363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99082 ÷ 217
    99082 ÷ 131072     		y = 0.755935668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78363037109375 × 2 - 1) × π
    0.5672607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78210218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755935668945312 × 2 - 1) × π
    -0.511871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6080912346544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78210218} λ = 1.78210218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6080912346544))-π/2
    2×atan(0.20026951699148)-π/2
    2×0.197654697366279-π/2
    0.395309394732557-1.57079632675     		φ = -1.17548693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78210218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.106934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17548693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.350440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102712 KachelY 99082 1.78210218 -1.17548693 102.106934 -67.350440
    Oben rechts KachelX + 1 102713 KachelY 99082 1.78215012 -1.17548693 102.109680 -67.350440
    Unten links KachelX 102712 KachelY + 1 99083 1.78210218 -1.17550539 102.106934 -67.351498
    Unten rechts KachelX + 1 102713 KachelY + 1 99083 1.78215012 -1.17550539 102.109680 -67.351498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17548693--1.17550539) × R
    1.84600000001645e-05 × 6371000     		dl = 117.608660001048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17548693--1.17550539) × R
    1.84600000001645e-05 × 6371000     		dr = 117.608660001048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78210218-1.78215012) × cos(-1.17548693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385093742564257 × 6371000     		do = 117.617541291981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78210218-1.78215012) × cos(-1.17550539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385076706180699 × 6371000     		du = 117.612337941925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17548693)-sin(-1.17550539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385093742564257-0.385076706180699)×R²
    abs(1.78215012-1.78210218)×1.70363835579335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70363835579335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70363835579335e-05×40589641000000     		ar = 13832.5354448098m²