Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102710 / 99073
↖ ↑ ↗
← S 67.340919°
E102.101441°		 ← 117.64 m → S 67.340919°
E102.104187°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.341977°
E102.101441°		 ← 117.63 m →
13 835 m²		 S 67.341977°
E102.104187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783618927001953 y=0.755870819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783618927001953 × 217)
    floor (0.783618927001953 × 131072)
    floor (102710.5)     		tx = 102710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755870819091797 × 217)
    floor (0.755870819091797 × 131072)
    floor (99073.5)     		ty = 99073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102710 / 99073 ti = "17/102710/99073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102710/99073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102710 ÷ 217
    102710 ÷ 131072     		x = 0.783615112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99073 ÷ 217
    99073 ÷ 131072     		y = 0.755867004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783615112304688 × 2 - 1) × π
    0.567230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78200631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755867004394531 × 2 - 1) × π
    -0.511734008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.60765980255782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78200631} λ = 1.78200631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60765980255782))-π/2
    2×atan(0.200355938330205)-π/2
    2×0.19773778480576-π/2
    0.395475569611519-1.57079632675     		φ = -1.17532076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78200631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.101441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17532076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.340919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102710 KachelY 99073 1.78200631 -1.17532076 102.101441 -67.340919
    Oben rechts KachelX + 1 102711 KachelY 99073 1.78205424 -1.17532076 102.104187 -67.340919
    Unten links KachelX 102710 KachelY + 1 99074 1.78200631 -1.17533922 102.101441 -67.341977
    Unten rechts KachelX + 1 102711 KachelY + 1 99074 1.78205424 -1.17533922 102.104187 -67.341977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17532076--1.17533922) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17532076--1.17533922) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78200631-1.78205424) × cos(-1.17532076) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.385247091794678 × 6371000     		do = 117.639834001546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78200631-1.78205424) × cos(-1.17533922) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.385230056592604 × 6371000     		du = 117.63463209766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17532076)-sin(-1.17533922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385247091794678-0.385230056592604)×R²
    abs(1.78205424-1.78200631)×1.70352020743003e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.70352020743003e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.70352020743003e-05×40589641000000     		ar = 13835.1573455052m²