Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10271 / 6179
↖ ↑ ↗
← N 81.063397°
W123.579712°		 ← 94.88 m → N 81.063397°
W123.574219°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
N 81.062544°
W123.579712°		 ← 94.89 m →
9 001 m²		 N 81.062544°
W123.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156730651855469 y=0.0942916870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156730651855469 × 216)
    floor (0.156730651855469 × 65536)
    floor (10271.5)     		tx = 10271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942916870117188 × 216)
    floor (0.0942916870117188 × 65536)
    floor (6179.5)     		ty = 6179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10271 / 6179 ti = "16/10271/6179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10271/6179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10271 ÷ 216
    10271 ÷ 65536     		x = 0.156723022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6179 ÷ 216
    6179 ÷ 65536     		y = 0.0942840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156723022460938 × 2 - 1) × π
    -0.686553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15687286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0942840576171875 × 2 - 1) × π
    0.811431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54918844799535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15687286} λ = -2.15687286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54918844799535))-π/2
    2×atan(12.7967143682597)-π/2
    2×1.49280975562881-π/2
    2.98561951125762-1.57079632675     		φ = 1.41482318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15687286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.579712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41482318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10271 KachelY 6179 -2.15687286 1.41482318 -123.579712 81.063397
    Oben rechts KachelX + 1 10272 KachelY 6179 -2.15677699 1.41482318 -123.574219 81.063397
    Unten links KachelX 10271 KachelY + 1 6180 -2.15687286 1.41480829 -123.579712 81.062544
    Unten rechts KachelX + 1 10272 KachelY + 1 6180 -2.15677699 1.41480829 -123.574219 81.062544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41482318-1.41480829) × R
    1.48899999998786e-05 × 6371000     		dl = 94.8641899992266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41482318-1.41480829) × R
    1.48899999998786e-05 × 6371000     		dr = 94.8641899992266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15687286--2.15677699) × cos(1.41482318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155341506293777 × 6371000     		do = 94.8806922176147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15687286--2.15677699) × cos(1.41480829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155356215524291 × 6371000     		du = 94.8896764357192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41482318)-sin(1.41480829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155341506293777-0.155356215524291)×R²
    abs(-2.15677699--2.15687286)×1.47092305146923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47092305146923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47092305146923e-05×40589641000000     		ar = 9001.20615406002m²