Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102705 / 99093
↖ ↑ ↗
← S 67.362072°
E102.087707°		 ← 117.56 m → S 67.362072°
E102.090454°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.363129°
E102.087707°		 ← 117.56 m →
13 826 m²		 S 67.363129°
E102.090454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783580780029297 y=0.756023406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783580780029297 × 217)
    floor (0.783580780029297 × 131072)
    floor (102705.5)     		tx = 102705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756023406982422 × 217)
    floor (0.756023406982422 × 131072)
    floor (99093.5)     		ty = 99093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102705 / 99093 ti = "17/102705/99093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102705/99093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102705 ÷ 217
    102705 ÷ 131072     		x = 0.783576965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99093 ÷ 217
    99093 ÷ 131072     		y = 0.756019592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783576965332031 × 2 - 1) × π
    0.567153930664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.78176662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756019592285156 × 2 - 1) × π
    -0.512039184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.60861854055022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78176662} λ = 1.78176662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60861854055022))-π/2
    2×atan(0.200163941532144)-π/2
    2×0.197553190967505-π/2
    0.395106381935009-1.57079632675     		φ = -1.17568994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78176662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.087707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17568994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.362072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102705 KachelY 99093 1.78176662 -1.17568994 102.087707 -67.362072
    Oben rechts KachelX + 1 102706 KachelY 99093 1.78181456 -1.17568994 102.090454 -67.362072
    Unten links KachelX 102705 KachelY + 1 99094 1.78176662 -1.17570840 102.087707 -67.363129
    Unten rechts KachelX + 1 102706 KachelY + 1 99094 1.78181456 -1.17570840 102.090454 -67.363129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17568994--1.17570840) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17568994--1.17570840) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78176662-1.78181456) × cos(-1.17568994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384906381276584 × 6371000     		do = 117.560316332046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78176662-1.78181456) × cos(-1.17570840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384889343450246 × 6371000     		du = 117.555112541328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17568994)-sin(-1.17570840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384906381276584-0.384889343450246)×R²
    abs(1.78181456-1.78176662)×1.70378263383841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70378263383841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70378263383841e-05×40589641000000     		ar = 13825.8052678822m²