Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102704 / 99094
↖ ↑ ↗
← S 67.363129°
E102.084961°		 ← 117.53 m → S 67.363129°
E102.087707°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.364186°
E102.084961°		 ← 117.53 m →
13 815 m²		 S 67.364186°
E102.087707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783573150634766 y=0.756031036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783573150634766 × 217)
    floor (0.783573150634766 × 131072)
    floor (102704.5)     		tx = 102704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756031036376953 × 217)
    floor (0.756031036376953 × 131072)
    floor (99094.5)     		ty = 99094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102704 / 99094 ti = "17/102704/99094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102704/99094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102704 ÷ 217
    102704 ÷ 131072     		x = 0.7835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99094 ÷ 217
    99094 ÷ 131072     		y = 0.756027221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7835693359375 × 2 - 1) × π
    0.567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78171869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756027221679688 × 2 - 1) × π
    -0.512054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60866647744984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78171869} λ = 1.78171869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60866647744984))-π/2
    2×atan(0.200154346523351)-π/2
    2×0.197543965562416-π/2
    0.395087931124831-1.57079632675     		φ = -1.17570840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78171869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.084961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17570840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.363129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102704 KachelY 99094 1.78171869 -1.17570840 102.084961 -67.363129
    Oben rechts KachelX + 1 102705 KachelY 99094 1.78176662 -1.17570840 102.087707 -67.363129
    Unten links KachelX 102704 KachelY + 1 99095 1.78171869 -1.17572685 102.084961 -67.364186
    Unten rechts KachelX + 1 102705 KachelY + 1 99095 1.78176662 -1.17572685 102.087707 -67.364186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17570840--1.17572685) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17570840--1.17572685) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78171869-1.78176662) × cos(-1.17570840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384889343450246 × 6371000     		do = 117.530591241406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78171869-1.78176662) × cos(-1.17572685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384872314722447 × 6371000     		du = 117.525391314517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17570840)-sin(-1.17572685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384889343450246-0.384872314722447)×R²
    abs(1.78176662-1.78171869)×1.70287277995174e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70287277995174e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70287277995174e-05×40589641000000     		ar = 13814.8218588002m²