Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10270 / 6173
↖ ↑ ↗
← N 81.068516°
W123.585205°		 ← 94.84 m → N 81.068516°
W123.579712°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
N 81.067663°
W123.585205°		 ← 94.85 m →
8 997 m²		 N 81.067663°
W123.579712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156715393066406 y=0.0942001342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156715393066406 × 216)
    floor (0.156715393066406 × 65536)
    floor (10270.5)     		tx = 10270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942001342773438 × 216)
    floor (0.0942001342773438 × 65536)
    floor (6173.5)     		ty = 6173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10270 / 6173 ti = "16/10270/6173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10270/6173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10270 ÷ 216
    10270 ÷ 65536     		x = 0.156707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6173 ÷ 216
    6173 ÷ 65536     		y = 0.0941925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.68658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15696874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941925048828125 × 2 - 1) × π
    0.811614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54976369079079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15696874} λ = -2.15696874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54976369079079))-π/2
    2×atan(12.8040777036551)-π/2
    2×1.49285442247626-π/2
    2.98570884495252-1.57079632675     		φ = 1.41491252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15696874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.585205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41491252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.068516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10270 KachelY 6173 -2.15696874 1.41491252 -123.585205 81.068516
    Oben rechts KachelX + 1 10271 KachelY 6173 -2.15687286 1.41491252 -123.579712 81.068516
    Unten links KachelX 10270 KachelY + 1 6174 -2.15696874 1.41489763 -123.585205 81.067663
    Unten rechts KachelX + 1 10271 KachelY + 1 6174 -2.15687286 1.41489763 -123.579712 81.067663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41491252-1.41489763) × R
    1.48899999998786e-05 × 6371000     		dl = 94.8641899992266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41491252-1.41489763) × R
    1.48899999998786e-05 × 6371000     		dr = 94.8641899992266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15696874--2.15687286) × cos(1.41491252) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155253250187539 × 6371000     		do = 94.8366776518063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15696874--2.15687286) × cos(1.41489763) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155267959624651 × 6371000     		du = 94.8456629332363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41491252)-sin(1.41489763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155253250187539-0.155267959624651)×R²
    abs(-2.15687286--2.15696874)×1.47094371123202e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47094371123202e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47094371123202e-05×40589641000000     		ar = 8997.03079824291m²