Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1027 / 1014
↖ ↑ ↗
← N 79.253585°
W134.868164°		 ← 911.15 m → N 79.253585°
W134.824219°		 →
↑
911.44 m
↓
↑
911.44 m
↓
N 79.245389°
W134.868164°		 ← 911.83 m →
830 765 m²		 N 79.245389°
W134.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12542724609375 y=0.12384033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12542724609375 × 213)
    floor (0.12542724609375 × 8192)
    floor (1027.5)     		tx = 1027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12384033203125 × 213)
    floor (0.12384033203125 × 8192)
    floor (1014.5)     		ty = 1014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1027 / 1014 ti = "13/1027/1014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1027/1014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1027 ÷ 213
    1027 ÷ 8192     		x = 0.1253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1014 ÷ 213
    1014 ÷ 8192     		y = 0.123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35389352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123779296875 × 2 - 1) × π
    0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35389352} λ = -2.35389352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36386439406421))-π/2
    2×atan(10.6319582445315)-π/2
    2×1.47701617038116-π/2
    2.95403234076232-1.57079632675     		φ = 1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35389352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1027 KachelY 1014 -2.35389352 1.38323601 -134.868164 79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 1028 KachelY 1014 -2.35312653 1.38323601 -134.824219 79.253585
    Unten links KachelX 1027 KachelY + 1 1015 -2.35389352 1.38309295 -134.868164 79.245389
    Unten rechts KachelX + 1 1028 KachelY + 1 1015 -2.35312653 1.38309295 -134.824219 79.245389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38323601-1.38309295) × R
    0.000143060000000084 × 6371000     		dl = 911.435260000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38323601-1.38309295) × R
    0.000143060000000084 × 6371000     		dr = 911.435260000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35389352--2.35312653) × cos(1.38323601) × R
    0.000766990000000245 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 911.148029045588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35389352--2.35312653) × cos(1.38309295) × R
    0.000766990000000245 × 0.186603105179365 × 6371000     		du = 911.834821352421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38323601)-sin(1.38309295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186603105179365)×R²
    abs(-2.35312653--2.35389352)×0.000140549114891392×R²
    0.000766990000000245×0.000140549114891392×6371000²
    0.000766990000000245×0.000140549114891392×40589641000000     		ar = 830765.42553108m²