Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102699 / 97820
↖ ↑ ↗
← S 65.977798°
E102.071228°		 ← 124.34 m → S 65.977798°
E102.073975°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
S 65.978916°
E102.071228°		 ← 124.33 m →
15 454 m²		 S 65.978916°
E102.073975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783535003662109 y=0.746311187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783535003662109 × 217)
    floor (0.783535003662109 × 131072)
    floor (102699.5)     		tx = 102699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746311187744141 × 217)
    floor (0.746311187744141 × 131072)
    floor (97820.5)     		ty = 97820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102699 / 97820 ti = "17/102699/97820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102699/97820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102699 ÷ 217
    102699 ÷ 131072     		x = 0.783531188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97820 ÷ 217
    97820 ÷ 131072     		y = 0.746307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783531188964844 × 2 - 1) × π
    0.567062377929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.78147900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.49261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54759486733389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78147900} λ = 1.78147900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54759486733389))-π/2
    2×atan(0.212759072745884)-π/2
    2×0.209633259332136-π/2
    0.419266518664272-1.57079632675     		φ = -1.15152981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78147900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.071228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15152981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.977798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102699 KachelY 97820 1.78147900 -1.15152981 102.071228 -65.977798
    Oben rechts KachelX + 1 102700 KachelY 97820 1.78152694 -1.15152981 102.073975 -65.977798
    Unten links KachelX 102699 KachelY + 1 97821 1.78147900 -1.15154932 102.071228 -65.978916
    Unten rechts KachelX + 1 102700 KachelY + 1 97821 1.78152694 -1.15154932 102.073975 -65.978916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15152981--1.15154932) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15152981--1.15154932) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78147900-1.78152694) × cos(-1.15152981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407090608030068 × 6371000     		do = 124.335950204552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78147900-1.78152694) × cos(-1.15154932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407072787757002 × 6371000     		du = 124.330507434464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15152981)-sin(-1.15154932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407090608030068-0.407072787757002)×R²
    abs(1.78152694-1.78147900)×1.78202730662935e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78202730662935e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78202730662935e-05×40589641000000     		ar = 15454.3977863419m²