Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102698 / 97819
↖ ↑ ↗
← S 65.976680°
E102.068481°		 ← 124.34 m → S 65.976680°
E102.071228°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.977798°
E102.068481°		 ← 124.34 m →
15 463 m²		 S 65.977798°
E102.071228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783527374267578 y=0.746303558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783527374267578 × 217)
    floor (0.783527374267578 × 131072)
    floor (102698.5)     		tx = 102698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746303558349609 × 217)
    floor (0.746303558349609 × 131072)
    floor (97819.5)     		ty = 97819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102698 / 97819 ti = "17/102698/97819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102698/97819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102698 ÷ 217
    102698 ÷ 131072     		x = 0.783523559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97819 ÷ 217
    97819 ÷ 131072     		y = 0.746299743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783523559570312 × 2 - 1) × π
    0.567047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78143106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746299743652344 × 2 - 1) × π
    -0.492599487304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.54754693043427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78143106} λ = 1.78143106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54754693043427))-π/2
    2×atan(0.212769272000656)-π/2
    2×0.209643016876598-π/2
    0.419286033753197-1.57079632675     		φ = -1.15151029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78143106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.068481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15151029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.976680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102698 KachelY 97819 1.78143106 -1.15151029 102.068481 -65.976680
    Oben rechts KachelX + 1 102699 KachelY 97819 1.78147900 -1.15151029 102.071228 -65.976680
    Unten links KachelX 102698 KachelY + 1 97820 1.78143106 -1.15152981 102.068481 -65.977798
    Unten rechts KachelX + 1 102699 KachelY + 1 97820 1.78147900 -1.15152981 102.071228 -65.977798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15151029--1.15152981) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15151029--1.15152981) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78143106-1.78147900) × cos(-1.15151029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407108437281978 × 6371000     		do = 124.34139571701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78143106-1.78147900) × cos(-1.15152981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407090608030068 × 6371000     		du = 124.335950204552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15151029)-sin(-1.15152981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407108437281978-0.407090608030068)×R²
    abs(1.78147900-1.78143106)×1.7829251909629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7829251909629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7829251909629e-05×40589641000000     		ar = 15462.9961000307m²