Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102697 / 99095
↖ ↑ ↗
← S 67.364186°
E102.065735°		 ← 117.53 m → S 67.364186°
E102.068481°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.365243°
E102.065735°		 ← 117.52 m →
13 807 m²		 S 67.365243°
E102.068481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783519744873047 y=0.756038665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783519744873047 × 217)
    floor (0.783519744873047 × 131072)
    floor (102697.5)     		tx = 102697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756038665771484 × 217)
    floor (0.756038665771484 × 131072)
    floor (99095.5)     		ty = 99095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102697 / 99095 ti = "17/102697/99095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102697/99095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102697 ÷ 217
    102697 ÷ 131072     		x = 0.783515930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99095 ÷ 217
    99095 ÷ 131072     		y = 0.756034851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783515930175781 × 2 - 1) × π
    0.567031860351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.78138313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756034851074219 × 2 - 1) × π
    -0.512069702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.60871441434946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78138313} λ = 1.78138313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60871441434946))-π/2
    2×atan(0.200144751974501)-π/2
    2×0.197534740565486-π/2
    0.395069481130973-1.57079632675     		φ = -1.17572685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78138313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.065735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17572685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.364186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102697 KachelY 99095 1.78138313 -1.17572685 102.065735 -67.364186
    Oben rechts KachelX + 1 102698 KachelY 99095 1.78143106 -1.17572685 102.068481 -67.364186
    Unten links KachelX 102697 KachelY + 1 99096 1.78138313 -1.17574529 102.065735 -67.365243
    Unten rechts KachelX + 1 102698 KachelY + 1 99096 1.78143106 -1.17574529 102.068481 -67.365243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17572685--1.17574529) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17572685--1.17574529) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78138313-1.78143106) × cos(-1.17572685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384872314722447 × 6371000     		do = 117.525391314517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78138313-1.78143106) × cos(-1.17574529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384855295093405 × 6371000     		du = 117.520194166043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17572685)-sin(-1.17574529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384872314722447-0.384855295093405)×R²
    abs(1.78143106-1.78138313)×1.70196290418256e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70196290418256e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70196290418256e-05×40589641000000     		ar = 13806.7234197908m²