Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102690 / 97825
↖ ↑ ↗
← S 65.983388°
E102.046509°		 ← 124.31 m → S 65.983388°
E102.049256°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
S 65.984506°
E102.046509°		 ← 124.30 m →
15 451 m²		 S 65.984506°
E102.049256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783466339111328 y=0.746349334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783466339111328 × 217)
    floor (0.783466339111328 × 131072)
    floor (102690.5)     		tx = 102690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746349334716797 × 217)
    floor (0.746349334716797 × 131072)
    floor (97825.5)     		ty = 97825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102690 / 97825 ti = "17/102690/97825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102690/97825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102690 ÷ 217
    102690 ÷ 131072     		x = 0.783462524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97825 ÷ 217
    97825 ÷ 131072     		y = 0.746345520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783462524414062 × 2 - 1) × π
    0.566925048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78104757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746345520019531 × 2 - 1) × π
    -0.492691040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54783455183199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78104757} λ = 1.78104757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54783455183199))-π/2
    2×atan(0.21270808380519)-π/2
    2×0.209584478017892-π/2
    0.419168956035784-1.57079632675     		φ = -1.15162737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78104757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.046509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15162737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.983388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102690 KachelY 97825 1.78104757 -1.15162737 102.046509 -65.983388
    Oben rechts KachelX + 1 102691 KachelY 97825 1.78109551 -1.15162737 102.049256 -65.983388
    Unten links KachelX 102690 KachelY + 1 97826 1.78104757 -1.15164688 102.046509 -65.984506
    Unten rechts KachelX + 1 102691 KachelY + 1 97826 1.78109551 -1.15164688 102.049256 -65.984506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15162737--1.15164688) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15162737--1.15164688) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78104757-1.78109551) × cos(-1.15162737) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407001495981047 × 6371000     		do = 124.308733091613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78104757-1.78109551) × cos(-1.15164688) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406983674933228 × 6371000     		du = 124.303290084895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15162737)-sin(-1.15164688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407001495981047-0.406983674933228)×R²
    abs(1.78109551-1.78104757)×1.7821047819e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7821047819e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7821047819e-05×40589641000000     		ar = 15451.014733046m²