Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102688 / 97824
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E102.041015°		 ← 124.31 m → S 65.982270°
E102.043762°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
S 65.983388°
E102.041015°		 ← 124.31 m →
15 452 m²		 S 65.983388°
E102.043762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783451080322266 y=0.746341705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783451080322266 × 217)
    floor (0.783451080322266 × 131072)
    floor (102688.5)     		tx = 102688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746341705322266 × 217)
    floor (0.746341705322266 × 131072)
    floor (97824.5)     		ty = 97824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102688 / 97824 ti = "17/102688/97824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102688/97824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102688 ÷ 217
    102688 ÷ 131072     		x = 0.783447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97824 ÷ 217
    97824 ÷ 131072     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783447265625 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78095169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78095169} λ = 1.78095169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78095169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.041015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102688 KachelY 97824 1.78095169 -1.15160786 102.041015 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 102689 KachelY 97824 1.78099963 -1.15160786 102.043762 -65.982270
    Unten links KachelX 102688 KachelY + 1 97825 1.78095169 -1.15162737 102.041015 -65.983388
    Unten rechts KachelX + 1 102689 KachelY + 1 97825 1.78099963 -1.15162737 102.043762 -65.983388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15162737) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15162737) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78095169-1.78099963) × cos(-1.15160786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 124.314176050438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78095169-1.78099963) × cos(-1.15162737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407001495981047 × 6371000     		du = 124.308733091037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15162737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.407001495981047)×R²
    abs(1.78099963-1.78095169)×1.7820892897924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7820892897924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7820892897924e-05×40589641000000     		ar = 15451.6912861827m²