Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102687 / 98530
↖ ↑ ↗
← S 66.759417°
E102.038269°		 ← 120.49 m → S 66.759417°
E102.041015°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
S 66.760501°
E102.038269°		 ← 120.49 m →
14 524 m²		 S 66.760501°
E102.041015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783443450927734 y=0.751728057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783443450927734 × 217)
    floor (0.783443450927734 × 131072)
    floor (102687.5)     		tx = 102687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751728057861328 × 217)
    floor (0.751728057861328 × 131072)
    floor (98530.5)     		ty = 98530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102687 / 98530 ti = "17/102687/98530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102687/98530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102687 ÷ 217
    102687 ÷ 131072     		x = 0.783439636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98530 ÷ 217
    98530 ÷ 131072     		y = 0.751724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783439636230469 × 2 - 1) × π
    0.566879272460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.78090376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.503448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58163006606413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78090376} λ = 1.78090376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58163006606413))-π/2
    2×atan(0.205639618688415)-π/2
    2×0.202812342361782-π/2
    0.405624684723565-1.57079632675     		φ = -1.16517164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78090376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.038269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16517164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.759417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102687 KachelY 98530 1.78090376 -1.16517164 102.038269 -66.759417
    Oben rechts KachelX + 1 102688 KachelY 98530 1.78095169 -1.16517164 102.041015 -66.759417
    Unten links KachelX 102687 KachelY + 1 98531 1.78090376 -1.16519056 102.038269 -66.760501
    Unten rechts KachelX + 1 102688 KachelY + 1 98531 1.78095169 -1.16519056 102.041015 -66.760501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16517164--1.16519056) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16517164--1.16519056) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78090376-1.78095169) × cos(-1.16517164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39459283458443 × 6371000     		do = 120.493668992229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78090376-1.78095169) × cos(-1.16519056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394575449756781 × 6371000     		du = 120.488360325967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16517164)-sin(-1.16519056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39459283458443-0.394575449756781)×R²
    abs(1.78095169-1.78090376)×1.73848276492361e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73848276492361e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73848276492361e-05×40589641000000     		ar = 14523.9049734982m²