Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102686 / 98529
↖ ↑ ↗
← S 66.758334°
E102.035522°		 ← 120.52 m → S 66.758334°
E102.038269°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.759417°
E102.035522°		 ← 120.52 m →
14 520 m²		 S 66.759417°
E102.038269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783435821533203 y=0.751720428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783435821533203 × 217)
    floor (0.783435821533203 × 131072)
    floor (102686.5)     		tx = 102686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751720428466797 × 217)
    floor (0.751720428466797 × 131072)
    floor (98529.5)     		ty = 98529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102686 / 98529 ti = "17/102686/98529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102686/98529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102686 ÷ 217
    102686 ÷ 131072     		x = 0.783432006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98529 ÷ 217
    98529 ÷ 131072     		y = 0.751716613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783432006835938 × 2 - 1) × π
    0.566864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78085582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751716613769531 × 2 - 1) × π
    -0.503433227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58158212916451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78085582} λ = 1.78085582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58158212916451))-π/2
    2×atan(0.205649476650452)-π/2
    2×0.202821800348584-π/2
    0.405643600697168-1.57079632675     		φ = -1.16515273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78085582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.035522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16515273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.758334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102686 KachelY 98529 1.78085582 -1.16515273 102.035522 -66.758334
    Oben rechts KachelX + 1 102687 KachelY 98529 1.78090376 -1.16515273 102.038269 -66.758334
    Unten links KachelX 102686 KachelY + 1 98530 1.78085582 -1.16517164 102.035522 -66.759417
    Unten rechts KachelX + 1 102687 KachelY + 1 98530 1.78090376 -1.16517164 102.038269 -66.759417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16515273--1.16517164) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16515273--1.16517164) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78085582-1.78090376) × cos(-1.16515273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394610210082342 × 6371000     		do = 120.524115425876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78085582-1.78090376) × cos(-1.16517164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39459283458443 × 6371000     		du = 120.518808501568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16515273)-sin(-1.16517164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394610210082342-0.39459283458443)×R²
    abs(1.78090376-1.78085582)×1.73754979121421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73754979121421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73754979121421e-05×40589641000000     		ar = 14519.8966487483m²