Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102680 / 99182
↖ ↑ ↗
← S 67.455975°
E102.019043°		 ← 117.10 m → S 67.455975°
E102.021790°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.457028°
E102.019043°		 ← 117.09 m →
13 712 m²		 S 67.457028°
E102.021790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783390045166016 y=0.756702423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783390045166016 × 217)
    floor (0.783390045166016 × 131072)
    floor (102680.5)     		tx = 102680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756702423095703 × 217)
    floor (0.756702423095703 × 131072)
    floor (99182.5)     		ty = 99182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102680 / 99182 ti = "17/102680/99182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102680/99182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102680 ÷ 217
    102680 ÷ 131072     		x = 0.78338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99182 ÷ 217
    99182 ÷ 131072     		y = 0.756698608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78338623046875 × 2 - 1) × π
    0.5667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78056820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756698608398438 × 2 - 1) × π
    -0.513397216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61288492461641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78056820} λ = 1.78056820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61288492461641))-π/2
    2×atan(0.199311784388778)-π/2
    2×0.196733726573404-π/2
    0.393467453146808-1.57079632675     		φ = -1.17732887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78056820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17732887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.455975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102680 KachelY 99182 1.78056820 -1.17732887 102.019043 -67.455975
    Oben rechts KachelX + 1 102681 KachelY 99182 1.78061614 -1.17732887 102.021790 -67.455975
    Unten links KachelX 102680 KachelY + 1 99183 1.78056820 -1.17734725 102.019043 -67.457028
    Unten rechts KachelX + 1 102681 KachelY + 1 99183 1.78061614 -1.17734725 102.021790 -67.457028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17732887--1.17734725) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17732887--1.17734725) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78056820-1.78061614) × cos(-1.17732887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383393205351683 × 6371000     		do = 117.098153455433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78056820-1.78061614) × cos(-1.17734725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383376229790666 × 6371000     		du = 117.092968682147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17732887)-sin(-1.17734725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383393205351683-0.383376229790666)×R²
    abs(1.78061614-1.78056820)×1.69755610177069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69755610177069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69755610177069e-05×40589641000000     		ar = 13711.7707641026m²