Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10268 / 6172
↖ ↑ ↗
← N 81.069368°
W123.596191°		 ← 94.82 m → N 81.069368°
W123.590698°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
N 81.068516°
W123.596191°		 ← 94.83 m →
8 989 m²		 N 81.068516°
W123.590698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156684875488281 y=0.0941848754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156684875488281 × 216)
    floor (0.156684875488281 × 65536)
    floor (10268.5)     		tx = 10268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941848754882812 × 216)
    floor (0.0941848754882812 × 65536)
    floor (6172.5)     		ty = 6172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10268 / 6172 ti = "16/10268/6172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10268/6172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10268 ÷ 216
    10268 ÷ 65536     		x = 0.15667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6172 ÷ 216
    6172 ÷ 65536     		y = 0.09417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.6866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15716048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09417724609375 × 2 - 1) × π
    0.8116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54985956459003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15716048} λ = -2.15716048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54985956459003))-π/2
    2×atan(12.8053053380784)-π/2
    2×1.49286186448339-π/2
    2.98572372896678-1.57079632675     		φ = 1.41492740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15716048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.596191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41492740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.069368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10268 KachelY 6172 -2.15716048 1.41492740 -123.596191 81.069368
    Oben rechts KachelX + 1 10269 KachelY 6172 -2.15706461 1.41492740 -123.590698 81.069368
    Unten links KachelX 10268 KachelY + 1 6173 -2.15716048 1.41491252 -123.596191 81.068516
    Unten rechts KachelX + 1 10269 KachelY + 1 6173 -2.15706461 1.41491252 -123.590698 81.068516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41492740-1.41491252) × R
    1.48800000001614e-05 × 6371000     		dl = 94.8004800010285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41492740-1.41491252) × R
    1.48800000001614e-05 × 6371000     		dr = 94.8004800010285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15716048--2.15706461) × cos(1.41492740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155238550594775 × 6371000     		do = 94.8178081358128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15716048--2.15706461) × cos(1.41491252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155253250187539 × 6371000     		du = 94.826786467297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41492740)-sin(1.41491252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155238550594775-0.155253250187539)×R²
    abs(-2.15706461--2.15716048)×1.46995927639837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46995927639837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46995927639837e-05×40589641000000     		ar = 8989.19929907338m²