Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102679 / 99098
↖ ↑ ↗
← S 67.367357°
E102.016296°		 ← 117.53 m → S 67.367357°
E102.019043°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.368414°
E102.016296°		 ← 117.53 m →
13 815 m²		 S 67.368414°
E102.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783382415771484 y=0.756061553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783382415771484 × 217)
    floor (0.783382415771484 × 131072)
    floor (102679.5)     		tx = 102679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756061553955078 × 217)
    floor (0.756061553955078 × 131072)
    floor (99098.5)     		ty = 99098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102679 / 99098 ti = "17/102679/99098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102679/99098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102679 ÷ 217
    102679 ÷ 131072     		x = 0.783378601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99098 ÷ 217
    99098 ÷ 131072     		y = 0.756057739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783378601074219 × 2 - 1) × π
    0.566757202148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.78052026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756057739257812 × 2 - 1) × π
    -0.512115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60885822504832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78052026} λ = 1.78052026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60885822504832))-π/2
    2×atan(0.200115971087396)-π/2
    2×0.197507068023506-π/2
    0.395014136047012-1.57079632675     		φ = -1.17578219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78052026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.016296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17578219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.367357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102679 KachelY 99098 1.78052026 -1.17578219 102.016296 -67.367357
    Oben rechts KachelX + 1 102680 KachelY 99098 1.78056820 -1.17578219 102.019043 -67.367357
    Unten links KachelX 102679 KachelY + 1 99099 1.78052026 -1.17580064 102.016296 -67.368414
    Unten rechts KachelX + 1 102680 KachelY + 1 99099 1.78056820 -1.17580064 102.019043 -67.368414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17578219--1.17580064) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17578219--1.17580064) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78052026-1.78056820) × cos(-1.17578219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384821236982913 × 6371000     		do = 117.534311073145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78052026-1.78056820) × cos(-1.17580064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384804207731174 × 6371000     		du = 117.52910990133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17578219)-sin(-1.17580064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384821236982913-0.384804207731174)×R²
    abs(1.78056820-1.78052026)×1.70292517397419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70292517397419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70292517397419e-05×40589641000000     		ar = 13815.2590330172m²