Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102678 / 99099
↖ ↑ ↗
← S 67.368414°
E102.013550°		 ← 117.50 m → S 67.368414°
E102.016296°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.369471°
E102.013550°		 ← 117.50 m →
13 804 m²		 S 67.369471°
E102.016296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783374786376953 y=0.756069183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783374786376953 × 217)
    floor (0.783374786376953 × 131072)
    floor (102678.5)     		tx = 102678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756069183349609 × 217)
    floor (0.756069183349609 × 131072)
    floor (99099.5)     		ty = 99099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102678 / 99099 ti = "17/102678/99099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102678/99099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102678 ÷ 217
    102678 ÷ 131072     		x = 0.783370971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99099 ÷ 217
    99099 ÷ 131072     		y = 0.756065368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783370971679688 × 2 - 1) × π
    0.566741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78047233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756065368652344 × 2 - 1) × π
    -0.512130737304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.60890616194794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78047233} λ = 1.78047233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60890616194794))-π/2
    2×atan(0.200106378378102)-π/2
    2×0.197497844659066-π/2
    0.394995689318131-1.57079632675     		φ = -1.17580064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78047233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.013550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17580064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.368414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102678 KachelY 99099 1.78047233 -1.17580064 102.013550 -67.368414
    Oben rechts KachelX + 1 102679 KachelY 99099 1.78052026 -1.17580064 102.016296 -67.368414
    Unten links KachelX 102678 KachelY + 1 99100 1.78047233 -1.17581908 102.013550 -67.369471
    Unten rechts KachelX + 1 102679 KachelY + 1 99100 1.78052026 -1.17581908 102.016296 -67.369471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17580064--1.17581908) × R
    1.84399999998419e-05 × 6371000     		dl = 117.481239998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17580064--1.17581908) × R
    1.84399999998419e-05 × 6371000     		dr = 117.481239998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78047233-1.78052026) × cos(-1.17580064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384804207731174 × 6371000     		do = 117.504594025405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78047233-1.78052026) × cos(-1.17581908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384787187578499 × 6371000     		du = 117.499396717033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17580064)-sin(-1.17581908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384804207731174-0.384787187578499)×R²
    abs(1.78052026-1.78047233)×1.70201526746849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70201526746849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70201526746849e-05×40589641000000     		ar = 13804.2801189229m²