Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102676 / 98524
↖ ↑ ↗
← S 66.752914°
E102.008057°		 ← 120.55 m → S 66.752914°
E102.010803°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
S 66.753998°
E102.008057°		 ← 120.55 m →
14 531 m²		 S 66.753998°
E102.010803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783359527587891 y=0.751682281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783359527587891 × 217)
    floor (0.783359527587891 × 131072)
    floor (102676.5)     		tx = 102676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751682281494141 × 217)
    floor (0.751682281494141 × 131072)
    floor (98524.5)     		ty = 98524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102676 / 98524 ti = "17/102676/98524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102676/98524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102676 ÷ 217
    102676 ÷ 131072     		x = 0.783355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98524 ÷ 217
    98524 ÷ 131072     		y = 0.751678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783355712890625 × 2 - 1) × π
    0.56671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78037645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.50335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58134244466641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78037645} λ = 1.78037645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58134244466641))-π/2
    2×atan(0.205698773549663)-π/2
    2×0.202869096531935-π/2
    0.40573819306387-1.57079632675     		φ = -1.16505813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78037645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.008057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16505813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.752914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102676 KachelY 98524 1.78037645 -1.16505813 102.008057 -66.752914
    Oben rechts KachelX + 1 102677 KachelY 98524 1.78042439 -1.16505813 102.010803 -66.752914
    Unten links KachelX 102676 KachelY + 1 98525 1.78037645 -1.16507705 102.008057 -66.753998
    Unten rechts KachelX + 1 102677 KachelY + 1 98525 1.78042439 -1.16507705 102.010803 -66.753998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16505813--1.16507705) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16505813--1.16507705) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78037645-1.78042439) × cos(-1.16505813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394697131395724 × 6371000     		do = 120.550663432337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78037645-1.78042439) × cos(-1.16507705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394679747415599 × 6371000     		du = 120.545353917344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16505813)-sin(-1.16507705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394697131395724-0.394679747415599)×R²
    abs(1.78042439-1.78037645)×1.73839801247411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73839801247411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73839801247411e-05×40589641000000     		ar = 14530.7749932915m²