Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102675 / 99084
↖ ↑ ↗
← S 67.352555°
E102.005310°		 ← 117.61 m → S 67.352555°
E102.008057°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.353613°
E102.005310°		 ← 117.60 m →
13 831 m²		 S 67.353613°
E102.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783351898193359 y=0.755954742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783351898193359 × 217)
    floor (0.783351898193359 × 131072)
    floor (102675.5)     		tx = 102675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755954742431641 × 217)
    floor (0.755954742431641 × 131072)
    floor (99084.5)     		ty = 99084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102675 / 99084 ti = "17/102675/99084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102675/99084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102675 ÷ 217
    102675 ÷ 131072     		x = 0.783348083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99084 ÷ 217
    99084 ÷ 131072     		y = 0.755950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783348083496094 × 2 - 1) × π
    0.566696166992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.78032851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755950927734375 × 2 - 1) × π
    -0.51190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60818710845364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78032851} λ = 1.78032851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60818710845364))-π/2
    2×atan(0.200250317312401)-π/2
    2×0.197636237982946-π/2
    0.395272475965891-1.57079632675     		φ = -1.17552385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78032851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.005310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17552385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.352555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102675 KachelY 99084 1.78032851 -1.17552385 102.005310 -67.352555
    Oben rechts KachelX + 1 102676 KachelY 99084 1.78037645 -1.17552385 102.008057 -67.352555
    Unten links KachelX 102675 KachelY + 1 99085 1.78032851 -1.17554231 102.005310 -67.353613
    Unten rechts KachelX + 1 102676 KachelY + 1 99085 1.78037645 -1.17554231 102.008057 -67.353613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17552385--1.17554231) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17552385--1.17554231) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78032851-1.78037645) × cos(-1.17552385) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.385059669665918 × 6371000     		do = 117.607134552336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78032851-1.78037645) × cos(-1.17554231) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38504263301992 × 6371000     		du = 117.601931122125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17552385)-sin(-1.17554231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385059669665918-0.38504263301992)×R²
    abs(1.78037645-1.78032851)×1.70366459982807e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70366459982807e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70366459982807e-05×40589641000000     		ar = 13831.3115172571m²