Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102674 / 98556
↖ ↑ ↗
← S 66.787579°
E102.002564°		 ← 120.36 m → S 66.787579°
E102.005310°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.788662°
E102.002564°		 ← 120.35 m →
14 492 m²		 S 66.788662°
E102.005310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783344268798828 y=0.751926422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783344268798828 × 217)
    floor (0.783344268798828 × 131072)
    floor (102674.5)     		tx = 102674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751926422119141 × 217)
    floor (0.751926422119141 × 131072)
    floor (98556.5)     		ty = 98556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102674 / 98556 ti = "17/102674/98556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102674/98556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102674 ÷ 217
    102674 ÷ 131072     		x = 0.783340454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98556 ÷ 217
    98556 ÷ 131072     		y = 0.751922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783340454101562 × 2 - 1) × π
    0.566680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78028058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.50384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58287642545425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78028058} λ = 1.78028058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58287642545425))-π/2
    2×atan(0.205383477473843)-π/2
    2×0.202566580883486-π/2
    0.405133161766973-1.57079632675     		φ = -1.16566316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78028058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.002564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16566316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.787579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102674 KachelY 98556 1.78028058 -1.16566316 102.002564 -66.787579
    Oben rechts KachelX + 1 102675 KachelY 98556 1.78032851 -1.16566316 102.005310 -66.787579
    Unten links KachelX 102674 KachelY + 1 98557 1.78028058 -1.16568206 102.002564 -66.788662
    Unten rechts KachelX + 1 102675 KachelY + 1 98557 1.78032851 -1.16568206 102.005310 -66.788662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16566316--1.16568206) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16566316--1.16568206) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78028058-1.78032851) × cos(-1.16566316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394141150797186 × 6371000     		do = 120.355741914038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78028058-1.78032851) × cos(-1.16568206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394123780683326 × 6371000     		du = 120.350437740809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16566316)-sin(-1.16568206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394141150797186-0.394123780683326)×R²
    abs(1.78032851-1.78028058)×1.7370113859827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7370113859827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7370113859827e-05×40589641000000     		ar = 14491.9442172405m²