Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102672 / 99153
↖ ↑ ↗
← S 67.425418°
E101.997070°		 ← 117.25 m → S 67.425418°
E101.999817°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.426473°
E101.997070°		 ← 117.24 m →
13 744 m²		 S 67.426473°
E101.999817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783329010009766 y=0.756481170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783329010009766 × 217)
    floor (0.783329010009766 × 131072)
    floor (102672.5)     		tx = 102672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756481170654297 × 217)
    floor (0.756481170654297 × 131072)
    floor (99153.5)     		ty = 99153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102672 / 99153 ti = "17/102672/99153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102672/99153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102672 ÷ 217
    102672 ÷ 131072     		x = 0.7833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99153 ÷ 217
    99153 ÷ 131072     		y = 0.756477355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7833251953125 × 2 - 1) × π
    0.566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78018470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756477355957031 × 2 - 1) × π
    -0.512954711914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61149475452743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78018470} λ = 1.78018470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61149475452743))-π/2
    2×atan(0.199589054351368)-π/2
    2×0.197000388594089-π/2
    0.394000777188179-1.57079632675     		φ = -1.17679555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78018470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17679555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.425418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102672 KachelY 99153 1.78018470 -1.17679555 101.997070 -67.425418
    Oben rechts KachelX + 1 102673 KachelY 99153 1.78023264 -1.17679555 101.999817 -67.425418
    Unten links KachelX 102672 KachelY + 1 99154 1.78018470 -1.17681395 101.997070 -67.426473
    Unten rechts KachelX + 1 102673 KachelY + 1 99154 1.78023264 -1.17681395 101.999817 -67.426473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17679555--1.17681395) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dl = 117.226400000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17679555--1.17681395) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dr = 117.226400000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78018470-1.78023264) × cos(-1.17679555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3838857172711 × 6371000     		do = 117.24857927288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78018470-1.78023264) × cos(-1.17681395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383868727002841 × 6371000     		du = 117.243390007624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17679555)-sin(-1.17681395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3838857172711-0.383868727002841)×R²
    abs(1.78023264-1.78018470)×1.69902682585765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69902682585765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69902682585765e-05×40589641000000     		ar = 13744.3246944255m²