Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10267 / 6171
↖ ↑ ↗
← N 81.070221°
W123.601685°		 ← 94.82 m → N 81.070221°
W123.596191°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
N 81.069368°
W123.601685°		 ← 94.83 m →
8 989 m²		 N 81.069368°
W123.596191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156669616699219 y=0.0941696166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156669616699219 × 216)
    floor (0.156669616699219 × 65536)
    floor (10267.5)     		tx = 10267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941696166992188 × 216)
    floor (0.0941696166992188 × 65536)
    floor (6171.5)     		ty = 6171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10267 / 6171 ti = "16/10267/6171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10267/6171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10267 ÷ 216
    10267 ÷ 65536     		x = 0.156661987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6171 ÷ 216
    6171 ÷ 65536     		y = 0.0941619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156661987304688 × 2 - 1) × π
    -0.686676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15725636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941619873046875 × 2 - 1) × π
    0.811676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54995543838927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15725636} λ = -2.15725636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54995543838927))-π/2
    2×atan(12.8065330902052)-π/2
    2×1.49286930578571-π/2
    2.98573861157142-1.57079632675     		φ = 1.41494228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15725636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.601685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41494228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.070221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10267 KachelY 6171 -2.15725636 1.41494228 -123.601685 81.070221
    Oben rechts KachelX + 1 10268 KachelY 6171 -2.15716048 1.41494228 -123.596191 81.070221
    Unten links KachelX 10267 KachelY + 1 6172 -2.15725636 1.41492740 -123.601685 81.069368
    Unten rechts KachelX + 1 10268 KachelY + 1 6172 -2.15716048 1.41492740 -123.596191 81.069368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41494228-1.41492740) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41494228-1.41492740) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15725636--2.15716048) × cos(1.41494228) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155223850967639 × 6371000     		do = 94.8187190948197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15725636--2.15716048) × cos(1.41492740) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155238550594775 × 6371000     		du = 94.8276983838111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41494228)-sin(1.41492740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155223850967639-0.155238550594775)×R²
    abs(-2.15716048--2.15725636)×1.46996271358224e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46996271358224e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46996271358224e-05×40589641000000     		ar = 8989.28570400886m²