Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102668 / 98549
↖ ↑ ↗
← S 66.780001°
E101.986084°		 ← 120.39 m → S 66.780001°
E101.988830°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.781084°
E101.986084°		 ← 120.39 m →
14 496 m²		 S 66.781084°
E101.988830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783298492431641 y=0.751873016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783298492431641 × 217)
    floor (0.783298492431641 × 131072)
    floor (102668.5)     		tx = 102668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751873016357422 × 217)
    floor (0.751873016357422 × 131072)
    floor (98549.5)     		ty = 98549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102668 / 98549 ti = "17/102668/98549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102668/98549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102668 ÷ 217
    102668 ÷ 131072     		x = 0.783294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98549 ÷ 217
    98549 ÷ 131072     		y = 0.751869201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783294677734375 × 2 - 1) × π
    0.56658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77999296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751869201660156 × 2 - 1) × π
    -0.503738403320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.58254086715691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77999296} λ = 1.77999296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58254086715691))-π/2
    2×atan(0.205452407168165)-π/2
    2×0.202632719747172-π/2
    0.405265439494345-1.57079632675     		φ = -1.16553089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77999296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.986084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16553089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.780001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102668 KachelY 98549 1.77999296 -1.16553089 101.986084 -66.780001
    Oben rechts KachelX + 1 102669 KachelY 98549 1.78004089 -1.16553089 101.988830 -66.780001
    Unten links KachelX 102668 KachelY + 1 98550 1.77999296 -1.16554979 101.986084 -66.781084
    Unten rechts KachelX + 1 102669 KachelY + 1 98550 1.78004089 -1.16554979 101.988830 -66.781084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16553089--1.16554979) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16553089--1.16554979) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77999296-1.78004089) × cos(-1.16553089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394262710081772 × 6371000     		do = 120.392861503945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77999296-1.78004089) × cos(-1.16554979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394245340953357 × 6371000     		du = 120.387557631633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16553089)-sin(-1.16554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394262710081772-0.394245340953357)×R²
    abs(1.78004089-1.77999296)×1.73691284149902e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73691284149902e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73691284149902e-05×40589641000000     		ar = 14496.4138758647m²