Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102668 / 98548
↖ ↑ ↗
← S 66.778918°
E101.986084°		 ← 120.40 m → S 66.778918°
E101.988830°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.780001°
E101.986084°		 ← 120.39 m →
14 497 m²		 S 66.780001°
E101.988830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783298492431641 y=0.751865386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783298492431641 × 217)
    floor (0.783298492431641 × 131072)
    floor (102668.5)     		tx = 102668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751865386962891 × 217)
    floor (0.751865386962891 × 131072)
    floor (98548.5)     		ty = 98548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102668 / 98548 ti = "17/102668/98548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102668/98548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102668 ÷ 217
    102668 ÷ 131072     		x = 0.783294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98548 ÷ 217
    98548 ÷ 131072     		y = 0.751861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783294677734375 × 2 - 1) × π
    0.56658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77999296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.50372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58249293025729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77999296} λ = 1.77999296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58249293025729))-π/2
    2×atan(0.205462256155647)-π/2
    2×0.202642169821365-π/2
    0.405284339642729-1.57079632675     		φ = -1.16551199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77999296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.986084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16551199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.778918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102668 KachelY 98548 1.77999296 -1.16551199 101.986084 -66.778918
    Oben rechts KachelX + 1 102669 KachelY 98548 1.78004089 -1.16551199 101.988830 -66.778918
    Unten links KachelX 102668 KachelY + 1 98549 1.77999296 -1.16553089 101.986084 -66.780001
    Unten rechts KachelX + 1 102669 KachelY + 1 98549 1.78004089 -1.16553089 101.988830 -66.780001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16551199--1.16553089) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dl = 120.411900000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16551199--1.16553089) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dr = 120.411900000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77999296-1.78004089) × cos(-1.16551199) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394280079069352 × 6371000     		do = 120.398165333252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77999296-1.78004089) × cos(-1.16553089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394262710081772 × 6371000     		du = 120.392861503945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16551199)-sin(-1.16553089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394280079069352-0.394262710081772)×R²
    abs(1.78004089-1.77999296)×1.7368987580535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7368987580535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7368987580535e-05×40589641000000     		ar = 14497.0525225959m²