Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102666 / 99003
↖ ↑ ↗
← S 67.266737°
E101.980591°		 ← 118.03 m → S 67.266737°
E101.983337°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
S 67.267798°
E101.980591°		 ← 118.02 m →
13 926 m²		 S 67.267798°
E101.983337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783283233642578 y=0.755336761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783283233642578 × 217)
    floor (0.783283233642578 × 131072)
    floor (102666.5)     		tx = 102666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755336761474609 × 217)
    floor (0.755336761474609 × 131072)
    floor (99003.5)     		ty = 99003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102666 / 99003 ti = "17/102666/99003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102666/99003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102666 ÷ 217
    102666 ÷ 131072     		x = 0.783279418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99003 ÷ 217
    99003 ÷ 131072     		y = 0.755332946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783279418945312 × 2 - 1) × π
    0.566558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77989708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755332946777344 × 2 - 1) × π
    -0.510665893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.60430421958442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77989708} λ = 1.77989708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60430421958442))-π/2
    2×atan(0.201029378565873)-π/2
    2×0.198385150712504-π/2
    0.396770301425008-1.57079632675     		φ = -1.17402603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77989708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.980591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17402603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.266737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102666 KachelY 99003 1.77989708 -1.17402603 101.980591 -67.266737
    Oben rechts KachelX + 1 102667 KachelY 99003 1.77994502 -1.17402603 101.983337 -67.266737
    Unten links KachelX 102666 KachelY + 1 99004 1.77989708 -1.17404455 101.980591 -67.267798
    Unten rechts KachelX + 1 102667 KachelY + 1 99004 1.77994502 -1.17404455 101.983337 -67.267798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17402603--1.17404455) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17402603--1.17404455) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77989708-1.77994502) × cos(-1.17402603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386441562829573 × 6371000     		do = 118.029200293901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77989708-1.77994502) × cos(-1.17404455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38642448150999 × 6371000     		du = 118.023983219228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17402603)-sin(-1.17404455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386441562829573-0.38642448150999)×R²
    abs(1.77994502-1.77989708)×1.70813195832786e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70813195832786e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70813195832786e-05×40589641000000     		ar = 13926.0661461363m²