Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102661 / 99002
↖ ↑ ↗
← S 67.265675°
E101.966858°		 ← 118.03 m → S 67.265675°
E101.969605°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.266737°
E101.966858°		 ← 118.03 m →
13 934 m²		 S 67.266737°
E101.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783245086669922 y=0.755329132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783245086669922 × 217)
    floor (0.783245086669922 × 131072)
    floor (102661.5)     		tx = 102661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755329132080078 × 217)
    floor (0.755329132080078 × 131072)
    floor (99002.5)     		ty = 99002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102661 / 99002 ti = "17/102661/99002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102661/99002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102661 ÷ 217
    102661 ÷ 131072     		x = 0.783241271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99002 ÷ 217
    99002 ÷ 131072     		y = 0.755325317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783241271972656 × 2 - 1) × π
    0.566482543945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.77965740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755325317382812 × 2 - 1) × π
    -0.510650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6042562826848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77965740} λ = 1.77965740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6042562826848))-π/2
    2×atan(0.201039015521995)-π/2
    2×0.198394413322571-π/2
    0.396788826645142-1.57079632675     		φ = -1.17400750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77965740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.966858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17400750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.265675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102661 KachelY 99002 1.77965740 -1.17400750 101.966858 -67.265675
    Oben rechts KachelX + 1 102662 KachelY 99002 1.77970534 -1.17400750 101.969605 -67.265675
    Unten links KachelX 102661 KachelY + 1 99003 1.77965740 -1.17402603 101.966858 -67.266737
    Unten rechts KachelX + 1 102662 KachelY + 1 99003 1.77970534 -1.17402603 101.969605 -67.266737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17400750--1.17402603) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17400750--1.17402603) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77965740-1.77970534) × cos(-1.17400750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386458653239678 × 6371000     		do = 118.034420145055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77965740-1.77970534) × cos(-1.17402603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386441562829573 × 6371000     		du = 118.029200293901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17400750)-sin(-1.17402603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386458653239678-0.386441562829573)×R²
    abs(1.77970534-1.77965740)×1.70904101048364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70904101048364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70904101048364e-05×40589641000000     		ar = 13934.2016841643m²