Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102659 / 99007
↖ ↑ ↗
← S 67.270982°
E101.961364°		 ← 118.01 m → S 67.270982°
E101.964111°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
S 67.272043°
E101.961364°		 ← 118 m →
13 924 m²		 S 67.272043°
E101.964111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783229827880859 y=0.755367279052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783229827880859 × 217)
    floor (0.783229827880859 × 131072)
    floor (102659.5)     		tx = 102659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755367279052734 × 217)
    floor (0.755367279052734 × 131072)
    floor (99007.5)     		ty = 99007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102659 / 99007 ti = "17/102659/99007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102659/99007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102659 ÷ 217
    102659 ÷ 131072     		x = 0.783226013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99007 ÷ 217
    99007 ÷ 131072     		y = 0.755363464355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783226013183594 × 2 - 1) × π
    0.566452026367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.77956152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755363464355469 × 2 - 1) × π
    -0.510726928710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6044959671829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77956152} λ = 1.77956152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6044959671829))-π/2
    2×atan(0.200990835360711)-π/2
    2×0.198348104367263-π/2
    0.396696208734526-1.57079632675     		φ = -1.17410012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77956152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.961364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17410012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.270982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102659 KachelY 99007 1.77956152 -1.17410012 101.961364 -67.270982
    Oben rechts KachelX + 1 102660 KachelY 99007 1.77960946 -1.17410012 101.964111 -67.270982
    Unten links KachelX 102659 KachelY + 1 99008 1.77956152 -1.17411864 101.961364 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 102660 KachelY + 1 99008 1.77960946 -1.17411864 101.964111 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17410012--1.17411864) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17410012--1.17411864) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77956152-1.77960946) × cos(-1.17410012) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386373227532599 × 6371000     		do = 118.008328935802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77956152-1.77960946) × cos(-1.17411864) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 118.003111699192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17410012)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386373227532599-0.38635614568282)×R²
    abs(1.77960946-1.77956152)×1.70818497792213e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70818497792213e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70818497792213e-05×40589641000000     		ar = 13923.6035057699m²