Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102658 / 99533
↖ ↑ ↗
← S 67.822726°
E101.958618°		 ← 115.27 m → S 67.822726°
E101.961364°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
S 67.823763°
E101.958618°		 ← 115.26 m →
13 292 m²		 S 67.823763°
E101.961364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783222198486328 y=0.759380340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783222198486328 × 217)
    floor (0.783222198486328 × 131072)
    floor (102658.5)     		tx = 102658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759380340576172 × 217)
    floor (0.759380340576172 × 131072)
    floor (99533.5)     		ty = 99533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102658 / 99533 ti = "17/102658/99533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102658/99533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102658 ÷ 217
    102658 ÷ 131072     		x = 0.783218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99533 ÷ 217
    99533 ÷ 131072     		y = 0.759376525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783218383789062 × 2 - 1) × π
    0.566436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77951359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759376525878906 × 2 - 1) × π
    -0.518753051757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62971077638305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77951359} λ = 1.77951359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62971077638305))-π/2
    2×atan(0.19598624978258)-π/2
    2×0.193533222590043-π/2
    0.387066445180087-1.57079632675     		φ = -1.18372988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77951359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.958618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18372988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.822726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102658 KachelY 99533 1.77951359 -1.18372988 101.958618 -67.822726
    Oben rechts KachelX + 1 102659 KachelY 99533 1.77956152 -1.18372988 101.961364 -67.822726
    Unten links KachelX 102658 KachelY + 1 99534 1.77951359 -1.18374798 101.958618 -67.823763
    Unten rechts KachelX + 1 102659 KachelY + 1 99534 1.77956152 -1.18374798 101.961364 -67.823763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18372988--1.18374798) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dl = 115.315099999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18372988--1.18374798) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dr = 115.315099999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77951359-1.77956152) × cos(-1.18372988) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.37747351317871 × 6371000     		do = 115.266078255019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77951359-1.77956152) × cos(-1.18374798) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.377456752147975 × 6371000     		du = 115.260960072649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18372988)-sin(-1.18374798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37747351317871-0.377456752147975)×R²
    abs(1.77956152-1.77951359)×1.67610307351684e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.67610307351684e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.67610307351684e-05×40589641000000     		ar = 13291.6242391076m²