Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102656 / 97536
↖ ↑ ↗
← S 65.658274°
E101.953125°		 ← 125.89 m → S 65.658274°
E101.955872°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
S 65.659407°
E101.953125°		 ← 125.88 m →
15 848 m²		 S 65.659407°
E101.955872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783206939697266 y=0.744144439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783206939697266 × 217)
    floor (0.783206939697266 × 131072)
    floor (102656.5)     		tx = 102656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744144439697266 × 217)
    floor (0.744144439697266 × 131072)
    floor (97536.5)     		ty = 97536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102656 / 97536 ti = "17/102656/97536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102656/97536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102656 ÷ 217
    102656 ÷ 131072     		x = 0.783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97536 ÷ 217
    97536 ÷ 131072     		y = 0.744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783203125 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744140625 × 2 - 1) × π
    -0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77941771} λ = 1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5339807878418))-π/2
    2×atan(0.215675398174743)-π/2
    2×0.212421627631848-π/2
    0.424843255263695-1.57079632675     		φ = -1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102656 KachelY 97536 1.77941771 -1.14595307 101.953125 -65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 102657 KachelY 97536 1.77946565 -1.14595307 101.955872 -65.658274
    Unten links KachelX 102656 KachelY + 1 97537 1.77941771 -1.14597283 101.953125 -65.659407
    Unten rechts KachelX + 1 102657 KachelY + 1 97537 1.77946565 -1.14597283 101.955872 -65.659407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14595307--1.14597283) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14595307--1.14597283) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77941771-1.77946565) × cos(-1.14595307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 125.889763804217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77941771-1.77946565) × cos(-1.14597283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412159974065327 × 6371000     		du = 125.884265077201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14595307)-sin(-1.14597283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.412159974065327)×R²
    abs(1.77946565-1.77941771)×1.8003482668727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8003482668727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8003482668727e-05×40589641000000     		ar = 15848.0371000686m²