Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102648 / 99016
↖ ↑ ↗
← S 67.280531°
E101.931152°		 ← 117.96 m → S 67.280531°
E101.933899°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
S 67.281591°
E101.931152°		 ← 117.96 m →
13 911 m²		 S 67.281591°
E101.933899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783145904541016 y=0.755435943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783145904541016 × 217)
    floor (0.783145904541016 × 131072)
    floor (102648.5)     		tx = 102648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755435943603516 × 217)
    floor (0.755435943603516 × 131072)
    floor (99016.5)     		ty = 99016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102648 / 99016 ti = "17/102648/99016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102648/99016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102648 ÷ 217
    102648 ÷ 131072     		x = 0.78314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99016 ÷ 217
    99016 ÷ 131072     		y = 0.75543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78314208984375 × 2 - 1) × π
    0.5662841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77903422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.5108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60492739927948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77903422} λ = 1.77903422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60492739927948))-π/2
    2×atan(0.200904140166107)-π/2
    2×0.198264774042296-π/2
    0.396529548084592-1.57079632675     		φ = -1.17426678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77903422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17426678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.280531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102648 KachelY 99016 1.77903422 -1.17426678 101.931152 -67.280531
    Oben rechts KachelX + 1 102649 KachelY 99016 1.77908216 -1.17426678 101.933899 -67.280531
    Unten links KachelX 102648 KachelY + 1 99017 1.77903422 -1.17428529 101.931152 -67.281591
    Unten rechts KachelX + 1 102649 KachelY + 1 99017 1.77908216 -1.17428529 101.933899 -67.281591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17426678--1.17428529) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dl = 117.927210000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17426678--1.17428529) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dr = 117.927210000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77903422-1.77908216) × cos(-1.17426678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386219504562624 × 6371000     		do = 117.961377983395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77903422-1.77908216) × cos(-1.17428529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386202430744691 × 6371000     		du = 117.956163199919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17426678)-sin(-1.17428529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386219504562624-0.386202430744691)×R²
    abs(1.77908216-1.77903422)×1.70738179328667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70738179328667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70738179328667e-05×40589641000000     		ar = 13910.5487113746m²