Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102640 / 97584
↖ ↑ ↗
← S 65.712558°
E101.909179°		 ← 125.63 m → S 65.712558°
E101.911926°		 →
↑
125.57 m
↓
↑
125.57 m
↓
S 65.713687°
E101.909179°		 ← 125.62 m →
15 775 m²		 S 65.713687°
E101.911926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783084869384766 y=0.744510650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783084869384766 × 217)
    floor (0.783084869384766 × 131072)
    floor (102640.5)     		tx = 102640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744510650634766 × 217)
    floor (0.744510650634766 × 131072)
    floor (97584.5)     		ty = 97584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102640 / 97584 ti = "17/102640/97584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102640/97584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102640 ÷ 217
    102640 ÷ 131072     		x = 0.7830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97584 ÷ 217
    97584 ÷ 131072     		y = 0.7445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7830810546875 × 2 - 1) × π
    0.566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77865072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53628175902356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77865072} λ = 1.77865072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53628175902356))-π/2
    2×atan(0.215179705804559)-π/2
    2×0.211947919599979-π/2
    0.423895839199958-1.57079632675     		φ = -1.14690049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77865072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.909179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14690049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.712558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102640 KachelY 97584 1.77865072 -1.14690049 101.909179 -65.712558
    Oben rechts KachelX + 1 102641 KachelY 97584 1.77869866 -1.14690049 101.911926 -65.712558
    Unten links KachelX 102640 KachelY + 1 97585 1.77865072 -1.14692020 101.909179 -65.713687
    Unten rechts KachelX + 1 102641 KachelY + 1 97585 1.77869866 -1.14692020 101.911926 -65.713687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14690049--1.14692020) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dl = 125.572410000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14690049--1.14692020) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dr = 125.572410000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77865072-1.77869866) × cos(-1.14690049) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411314595154621 × 6371000     		do = 125.6260645984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77865072-1.77869866) × cos(-1.14692020) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411296629538888 × 6371000     		du = 125.62057743692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14690049)-sin(-1.14692020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411314595154621-0.411296629538888)×R²
    abs(1.77869866-1.77865072)×1.79656157326957e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79656157326957e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79656157326957e-05×40589641000000     		ar = 15774.8231731345m²