Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10264 / 6169
↖ ↑ ↗
← N 81.071927°
W123.618164°		 ← 94.80 m → N 81.071927°
W123.612671°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
N 81.071074°
W123.618164°		 ← 94.81 m →
8 988 m²		 N 81.071074°
W123.612671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156623840332031 y=0.0941390991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156623840332031 × 216)
    floor (0.156623840332031 × 65536)
    floor (10264.5)     		tx = 10264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941390991210938 × 216)
    floor (0.0941390991210938 × 65536)
    floor (6169.5)     		ty = 6169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10264 / 6169 ti = "16/10264/6169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10264/6169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10264 ÷ 216
    10264 ÷ 65536     		x = 0.1566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6169 ÷ 216
    6169 ÷ 65536     		y = 0.0941314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15754398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941314697265625 × 2 - 1) × π
    0.811737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55014718598775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15754398} λ = -2.15754398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55014718598775))-π/2
    2×atan(12.808988947615)-π/2
    2×1.49288418627618-π/2
    2.98576837255235-1.57079632675     		φ = 1.41497205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15754398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41497205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.071927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10264 KachelY 6169 -2.15754398 1.41497205 -123.618164 81.071927
    Oben rechts KachelX + 1 10265 KachelY 6169 -2.15744810 1.41497205 -123.612671 81.071927
    Unten links KachelX 10264 KachelY + 1 6170 -2.15754398 1.41495717 -123.618164 81.071074
    Unten rechts KachelX + 1 10265 KachelY + 1 6170 -2.15744810 1.41495717 -123.612671 81.071074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41497205-1.41495717) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41497205-1.41495717) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15754398--2.15744810) × cos(1.41497205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155194441731425 × 6371000     		do = 94.8007544193525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15754398--2.15744810) × cos(1.41495717) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155209141427318 × 6371000     		du = 94.8097337503444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41497205)-sin(1.41495717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155194441731425-0.155209141427318)×R²
    abs(-2.15744810--2.15754398)×1.46996958932388e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46996958932388e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46996958932388e-05×40589641000000     		ar = 8987.58264561003m²