Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10264 / 14374
↖ ↑ ↗
← N 70.543203°
W123.618164°		 ← 203.47 m → N 70.543203°
W123.612671°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 70.541373°
W123.618164°		 ← 203.49 m →
41 406 m²		 N 70.541373°
W123.612671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156623840332031 y=0.219337463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156623840332031 × 216)
    floor (0.156623840332031 × 65536)
    floor (10264.5)     		tx = 10264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219337463378906 × 216)
    floor (0.219337463378906 × 65536)
    floor (14374.5)     		ty = 14374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10264 / 14374 ti = "16/10264/14374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10264/14374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10264 ÷ 216
    10264 ÷ 65536     		x = 0.1566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14374 ÷ 216
    14374 ÷ 65536     		y = 0.219329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15754398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219329833984375 × 2 - 1) × π
    0.56134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76350266322263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15754398} λ = -2.15754398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76350266322263))-π/2
    2×atan(5.83283210214286)-π/2
    2×1.40100374209763-π/2
    2.80200748419525-1.57079632675     		φ = 1.23121116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15754398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23121116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.543203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10264 KachelY 14374 -2.15754398 1.23121116 -123.618164 70.543203
    Oben rechts KachelX + 1 10265 KachelY 14374 -2.15744810 1.23121116 -123.612671 70.543203
    Unten links KachelX 10264 KachelY + 1 14375 -2.15754398 1.23117922 -123.618164 70.541373
    Unten rechts KachelX + 1 10265 KachelY + 1 14375 -2.15744810 1.23117922 -123.612671 70.541373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23121116-1.23117922) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23121116-1.23117922) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15754398--2.15744810) × cos(1.23121116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333095977518176 × 6371000     		do = 203.472170848891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15754398--2.15744810) × cos(1.23117922) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333126093348319 × 6371000     		du = 203.490567148305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23121116)-sin(1.23117922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333095977518176-0.333126093348319)×R²
    abs(-2.15744810--2.15754398)×3.01158301427296e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01158301427296e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01158301427296e-05×40589641000000     		ar = 41406.3708758232m²