Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102638 / 97582
↖ ↑ ↗
← S 65.710298°
E101.903687°		 ← 125.64 m → S 65.710298°
E101.906433°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
S 65.711428°
E101.903687°		 ← 125.63 m →
15 784 m²		 S 65.711428°
E101.906433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783069610595703 y=0.744495391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783069610595703 × 217)
    floor (0.783069610595703 × 131072)
    floor (102638.5)     		tx = 102638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744495391845703 × 217)
    floor (0.744495391845703 × 131072)
    floor (97582.5)     		ty = 97582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102638 / 97582 ti = "17/102638/97582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102638/97582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102638 ÷ 217
    102638 ÷ 131072     		x = 0.783065795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97582 ÷ 217
    97582 ÷ 131072     		y = 0.744491577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783065795898438 × 2 - 1) × π
    0.566131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77855485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744491577148438 × 2 - 1) × π
    -0.488983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53618588522432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77855485} λ = 1.77855485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53618588522432))-π/2
    2×atan(0.215200336889448)-π/2
    2×0.211967637608089-π/2
    0.423935275216177-1.57079632675     		φ = -1.14686105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77855485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.903687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14686105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.710298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102638 KachelY 97582 1.77855485 -1.14686105 101.903687 -65.710298
    Oben rechts KachelX + 1 102639 KachelY 97582 1.77860279 -1.14686105 101.906433 -65.710298
    Unten links KachelX 102638 KachelY + 1 97583 1.77855485 -1.14688077 101.903687 -65.711428
    Unten rechts KachelX + 1 102639 KachelY + 1 97583 1.77860279 -1.14688077 101.906433 -65.711428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14686105--1.14688077) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14686105--1.14688077) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77855485-1.77860279) × cos(-1.14686105) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411350544136256 × 6371000     		do = 125.637044342718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77855485-1.77860279) × cos(-1.14688077) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411332569725417 × 6371000     		du = 125.631554494987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14686105)-sin(-1.14688077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411350544136256-0.411332569725417)×R²
    abs(1.77860279-1.77855485)×1.7974410838506e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7974410838506e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7974410838506e-05×40589641000000     		ar = 15784.2059184603m²