Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102635 / 97585
↖ ↑ ↗
← S 65.713687°
E101.895447°		 ← 125.62 m → S 65.713687°
E101.898194°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
S 65.714817°
E101.895447°		 ← 125.62 m →
15 782 m²		 S 65.714817°
E101.898194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783046722412109 y=0.744518280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783046722412109 × 217)
    floor (0.783046722412109 × 131072)
    floor (102635.5)     		tx = 102635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744518280029297 × 217)
    floor (0.744518280029297 × 131072)
    floor (97585.5)     		ty = 97585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102635 / 97585 ti = "17/102635/97585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102635/97585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102635 ÷ 217
    102635 ÷ 131072     		x = 0.783042907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97585 ÷ 217
    97585 ÷ 131072     		y = 0.744514465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783042907714844 × 2 - 1) × π
    0.566085815429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.77841104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744514465332031 × 2 - 1) × π
    -0.489028930664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.53632969592318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77841104} λ = 1.77841104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53632969592318))-π/2
    2×atan(0.215169391003833)-π/2
    2×0.211938061242075-π/2
    0.42387612248415-1.57079632675     		φ = -1.14692020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77841104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.895447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14692020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.713687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102635 KachelY 97585 1.77841104 -1.14692020 101.895447 -65.713687
    Oben rechts KachelX + 1 102636 KachelY 97585 1.77845898 -1.14692020 101.898194 -65.713687
    Unten links KachelX 102635 KachelY + 1 97586 1.77841104 -1.14693992 101.895447 -65.714817
    Unten rechts KachelX + 1 102636 KachelY + 1 97586 1.77845898 -1.14693992 101.898194 -65.714817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14692020--1.14693992) × R
    1.97199999998343e-05 × 6371000     		dl = 125.636119998944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14692020--1.14693992) × R
    1.97199999998343e-05 × 6371000     		dr = 125.636119998944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77841104-1.77845898) × cos(-1.14692020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411296629538888 × 6371000     		do = 125.620577436338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77841104-1.77845898) × cos(-1.14693992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411278654648277 × 6371000     		du = 125.615087442072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14692020)-sin(-1.14693992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411296629538888-0.411278654648277)×R²
    abs(1.77845898-1.77841104)×1.79748906112276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79748906112276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79748906112276e-05×40589641000000     		ar = 15782.1370707199m²