Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102634 / 99991
↖ ↑ ↗
← S 68.292764°
E101.892700°		 ← 112.97 m → S 68.292764°
E101.895447°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.293779°
E101.892700°		 ← 112.96 m →
12 760 m²		 S 68.293779°
E101.895447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783039093017578 y=0.762874603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783039093017578 × 217)
    floor (0.783039093017578 × 131072)
    floor (102634.5)     		tx = 102634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762874603271484 × 217)
    floor (0.762874603271484 × 131072)
    floor (99991.5)     		ty = 99991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102634 / 99991 ti = "17/102634/99991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102634/99991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102634 ÷ 217
    102634 ÷ 131072     		x = 0.783035278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99991 ÷ 217
    99991 ÷ 131072     		y = 0.762870788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783035278320312 × 2 - 1) × π
    0.566070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77836310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762870788574219 × 2 - 1) × π
    -0.525741577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65166587640903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77836310} λ = 1.77836310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65166587640903))-π/2
    2×atan(0.191730243543807)-π/2
    2×0.189431373324303-π/2
    0.378862746648606-1.57079632675     		φ = -1.19193358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77836310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.892700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19193358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.292764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102634 KachelY 99991 1.77836310 -1.19193358 101.892700 -68.292764
    Oben rechts KachelX + 1 102635 KachelY 99991 1.77841104 -1.19193358 101.895447 -68.292764
    Unten links KachelX 102634 KachelY + 1 99992 1.77836310 -1.19195131 101.892700 -68.293779
    Unten rechts KachelX + 1 102635 KachelY + 1 99992 1.77841104 -1.19195131 101.895447 -68.293779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19193358--1.19195131) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19193358--1.19195131) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77836310-1.77841104) × cos(-1.19193358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369864102943349 × 6371000     		do = 112.966017340835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77836310-1.77841104) × cos(-1.19195131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369847630192822 × 6371000     		du = 112.960986138815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19193358)-sin(-1.19195131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369864102943349-0.369847630192822)×R²
    abs(1.77841104-1.77836310)×1.64727505274076e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64727505274076e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64727505274076e-05×40589641000000     		ar = 12760.1120262281m²