Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102633 / 99289
↖ ↑ ↗
← S 67.568382°
E101.889954°		 ← 116.52 m → S 67.568382°
E101.892700°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
S 67.569430°
E101.889954°		 ← 116.52 m →
13 577 m²		 S 67.569430°
E101.892700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783031463623047 y=0.757518768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783031463623047 × 217)
    floor (0.783031463623047 × 131072)
    floor (102633.5)     		tx = 102633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757518768310547 × 217)
    floor (0.757518768310547 × 131072)
    floor (99289.5)     		ty = 99289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102633 / 99289 ti = "17/102633/99289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102633/99289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102633 ÷ 217
    102633 ÷ 131072     		x = 0.783027648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99289 ÷ 217
    99289 ÷ 131072     		y = 0.757514953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783027648925781 × 2 - 1) × π
    0.566055297851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.77831517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757514953613281 × 2 - 1) × π
    -0.515029907226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61801417287576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77831517} λ = 1.77831517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61801417287576))-π/2
    2×atan(0.198292082154218)-π/2
    2×0.195752793069548-π/2
    0.391505586139096-1.57079632675     		φ = -1.17929074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77831517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.889954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17929074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.568382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102633 KachelY 99289 1.77831517 -1.17929074 101.889954 -67.568382
    Oben rechts KachelX + 1 102634 KachelY 99289 1.77836310 -1.17929074 101.892700 -67.568382
    Unten links KachelX 102633 KachelY + 1 99290 1.77831517 -1.17930903 101.889954 -67.569430
    Unten rechts KachelX + 1 102634 KachelY + 1 99290 1.77836310 -1.17930903 101.892700 -67.569430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17929074--1.17930903) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17929074--1.17930903) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77831517-1.77836310) × cos(-1.17929074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381580514560196 × 6371000     		do = 116.520200534617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77831517-1.77836310) × cos(-1.17930903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381563608398155 × 6371000     		du = 116.515038034657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17929074)-sin(-1.17930903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381580514560196-0.381563608398155)×R²
    abs(1.77836310-1.77831517)×1.69061620408639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69061620408639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69061620408639e-05×40589641000000     		ar = 13577.2843330579m²