Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102625 / 99296
↖ ↑ ↗
← S 67.575717°
E101.867981°		 ← 116.51 m → S 67.575717°
E101.870728°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
S 67.576765°
E101.867981°		 ← 116.50 m →
13 576 m²		 S 67.576765°
E101.870728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782970428466797 y=0.757572174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782970428466797 × 217)
    floor (0.782970428466797 × 131072)
    floor (102625.5)     		tx = 102625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757572174072266 × 217)
    floor (0.757572174072266 × 131072)
    floor (99296.5)     		ty = 99296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102625 / 99296 ti = "17/102625/99296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102625/99296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102625 ÷ 217
    102625 ÷ 131072     		x = 0.782966613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99296 ÷ 217
    99296 ÷ 131072     		y = 0.757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782966613769531 × 2 - 1) × π
    0.565933227539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.77793167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.51513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77793167} λ = 1.77793167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6183497311731))-π/2
    2×atan(0.198225554763287)-π/2
    2×0.195688781743604-π/2
    0.391377563487207-1.57079632675     		φ = -1.17941876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77793167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.867981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17941876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.575717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102625 KachelY 99296 1.77793167 -1.17941876 101.867981 -67.575717
    Oben rechts KachelX + 1 102626 KachelY 99296 1.77797961 -1.17941876 101.870728 -67.575717
    Unten links KachelX 102625 KachelY + 1 99297 1.77793167 -1.17943705 101.867981 -67.576765
    Unten rechts KachelX + 1 102626 KachelY + 1 99297 1.77797961 -1.17943705 101.870728 -67.576765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17941876--1.17943705) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17941876--1.17943705) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77793167-1.77797961) × cos(-1.17941876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381462177989466 × 6371000     		do = 116.508367994368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77793167-1.77797961) × cos(-1.17943705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381445270934118 × 6371000     		du = 116.503204144477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17941876)-sin(-1.17943705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381462177989466-0.381445270934118)×R²
    abs(1.77797961-1.77793167)×1.69070553479034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69070553479034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69070553479034e-05×40589641000000     		ar = 13575.9054607564m²