Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102625 / 97789
↖ ↑ ↗
← S 65.943113°
E101.867981°		 ← 124.50 m → S 65.943113°
E101.870728°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
S 65.944233°
E101.867981°		 ← 124.50 m →
15 499 m²		 S 65.944233°
E101.870728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782970428466797 y=0.746074676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782970428466797 × 217)
    floor (0.782970428466797 × 131072)
    floor (102625.5)     		tx = 102625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746074676513672 × 217)
    floor (0.746074676513672 × 131072)
    floor (97789.5)     		ty = 97789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102625 / 97789 ti = "17/102625/97789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102625/97789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102625 ÷ 217
    102625 ÷ 131072     		x = 0.782966613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97789 ÷ 217
    97789 ÷ 131072     		y = 0.746070861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782966613769531 × 2 - 1) × π
    0.565933227539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.77793167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746070861816406 × 2 - 1) × π
    -0.492141723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54610882344567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77793167} λ = 1.77793167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54610882344567))-π/2
    2×atan(0.213075477102755)-π/2
    2×0.209935941944223-π/2
    0.419871883888446-1.57079632675     		φ = -1.15092444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77793167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.867981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15092444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.943113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102625 KachelY 97789 1.77793167 -1.15092444 101.867981 -65.943113
    Oben rechts KachelX + 1 102626 KachelY 97789 1.77797961 -1.15092444 101.870728 -65.943113
    Unten links KachelX 102625 KachelY + 1 97790 1.77793167 -1.15094398 101.867981 -65.944233
    Unten rechts KachelX + 1 102626 KachelY + 1 97790 1.77797961 -1.15094398 101.870728 -65.944233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15092444--1.15094398) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15092444--1.15094398) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77793167-1.77797961) × cos(-1.15092444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407643470962917 × 6371000     		do = 124.504808774936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77793167-1.77797961) × cos(-1.15094398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40762562810659 × 6371000     		du = 124.499359107338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15092444)-sin(-1.15094398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407643470962917-0.40762562810659)×R²
    abs(1.77797961-1.77793167)×1.7842856327499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7842856327499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7842856327499e-05×40589641000000     		ar = 15499.1822589828m²