Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102621 / 97782
↖ ↑ ↗
← S 65.935274°
E101.856994°		 ← 124.54 m → S 65.935274°
E101.859741°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.936394°
E101.856994°		 ← 124.54 m →
15 512 m²		 S 65.936394°
E101.859741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782939910888672 y=0.746021270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782939910888672 × 217)
    floor (0.782939910888672 × 131072)
    floor (102621.5)     		tx = 102621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746021270751953 × 217)
    floor (0.746021270751953 × 131072)
    floor (97782.5)     		ty = 97782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102621 / 97782 ti = "17/102621/97782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102621/97782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102621 ÷ 217
    102621 ÷ 131072     		x = 0.782936096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97782 ÷ 217
    97782 ÷ 131072     		y = 0.746017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782936096191406 × 2 - 1) × π
    0.565872192382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.77773992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746017456054688 × 2 - 1) × π
    -0.492034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54577326514833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77773992} λ = 1.77773992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54577326514833))-π/2
    2×atan(0.213146988344481)-π/2
    2×0.21000434649754-π/2
    0.420008692995079-1.57079632675     		φ = -1.15078763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77773992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.856994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15078763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.935274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102621 KachelY 97782 1.77773992 -1.15078763 101.856994 -65.935274
    Oben rechts KachelX + 1 102622 KachelY 97782 1.77778786 -1.15078763 101.859741 -65.935274
    Unten links KachelX 102621 KachelY + 1 97783 1.77773992 -1.15080718 101.856994 -65.936394
    Unten rechts KachelX + 1 102622 KachelY + 1 97783 1.77778786 -1.15080718 101.859741 -65.936394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15078763--1.15080718) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15078763--1.15080718) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77773992-1.77778786) × cos(-1.15078763) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		do = 124.542963483926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77773992-1.77778786) × cos(-1.15080718) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407750543094008 × 6371000     		du = 124.537511360384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15078763)-sin(-1.15080718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407768393991386-0.407750543094008)×R²
    abs(1.77778786-1.77773992)×1.78508973779357e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78508973779357e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78508973779357e-05×40589641000000     		ar = 15511.8664191072m²