Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10262 / 6099
↖ ↑ ↗
← N 81.131405°
W123.629151°		 ← 94.17 m → N 81.131405°
W123.623657°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 81.130557°
W123.629151°		 ← 94.18 m →
8 874 m²		 N 81.130557°
W123.623657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156593322753906 y=0.0930709838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156593322753906 × 216)
    floor (0.156593322753906 × 65536)
    floor (10262.5)     		tx = 10262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0930709838867188 × 216)
    floor (0.0930709838867188 × 65536)
    floor (6099.5)     		ty = 6099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10262 / 6099 ti = "16/10262/6099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10262/6099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10262 ÷ 216
    10262 ÷ 65536     		x = 0.156585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6099 ÷ 216
    6099 ÷ 65536     		y = 0.0930633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.68682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15773573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0930633544921875 × 2 - 1) × π
    0.813873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55685835193455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15773573} λ = -2.15773573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55685835193455))-π/2
    2×atan(12.8952413012508)-π/2
    2×1.49340323152471-π/2
    2.98680646304942-1.57079632675     		φ = 1.41601014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15773573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.629151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41601014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.131405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10262 KachelY 6099 -2.15773573 1.41601014 -123.629151 81.131405
    Oben rechts KachelX + 1 10263 KachelY 6099 -2.15763985 1.41601014 -123.623657 81.131405
    Unten links KachelX 10262 KachelY + 1 6100 -2.15773573 1.41599535 -123.629151 81.130557
    Unten rechts KachelX + 1 10263 KachelY + 1 6100 -2.15763985 1.41599535 -123.623657 81.130557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41601014-1.41599535) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41601014-1.41599535) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15773573--2.15763985) × cos(1.41601014) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.154168845851852 × 6371000     		do = 94.1742676588701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15773573--2.15763985) × cos(1.41599535) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.154183459013392 × 6371000     		du = 94.1831941302241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41601014)-sin(1.41599535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154168845851852-0.154183459013392)×R²
    abs(-2.15763985--2.15773573)×1.46131615396394e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.46131615396394e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.46131615396394e-05×40589641000000     		ar = 8874.18775206973m²