Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102619 / 97781
↖ ↑ ↗
← S 65.934155°
E101.851502°		 ← 124.55 m → S 65.934155°
E101.854248°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
S 65.935274°
E101.851502°		 ← 124.54 m →
15 505 m²		 S 65.935274°
E101.854248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782924652099609 y=0.746013641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782924652099609 × 217)
    floor (0.782924652099609 × 131072)
    floor (102619.5)     		tx = 102619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746013641357422 × 217)
    floor (0.746013641357422 × 131072)
    floor (97781.5)     		ty = 97781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102619 / 97781 ti = "17/102619/97781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102619/97781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102619 ÷ 217
    102619 ÷ 131072     		x = 0.782920837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97781 ÷ 217
    97781 ÷ 131072     		y = 0.746009826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782920837402344 × 2 - 1) × π
    0.565841674804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.77764405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746009826660156 × 2 - 1) × π
    -0.492019653320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54572532824871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77764405} λ = 1.77764405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54572532824871))-π/2
    2×atan(0.21315720619517)-π/2
    2×0.210014120287641-π/2
    0.420028240575283-1.57079632675     		φ = -1.15076809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77764405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.851502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15076809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.934155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102619 KachelY 97781 1.77764405 -1.15076809 101.851502 -65.934155
    Oben rechts KachelX + 1 102620 KachelY 97781 1.77769199 -1.15076809 101.854248 -65.934155
    Unten links KachelX 102619 KachelY + 1 97782 1.77764405 -1.15078763 101.851502 -65.935274
    Unten rechts KachelX + 1 102620 KachelY + 1 97782 1.77769199 -1.15078763 101.854248 -65.935274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15076809--1.15078763) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15076809--1.15078763) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77764405-1.77769199) × cos(-1.15076809) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.40778623560214 × 6371000     		do = 124.548412771093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77764405-1.77769199) × cos(-1.15078763) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		du = 124.542963483926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15076809)-sin(-1.15078763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40778623560214-0.407768393991386)×R²
    abs(1.77769199-1.77764405)×1.78416107536328e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78416107536328e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78416107536328e-05×40589641000000     		ar = 15504.6105153099m²